Tips och lösning till U 22.34

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Systemet kan skrivas <math> \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} </math>, där
 +
<math>
 +
A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&-2\\0&-1&-2\\-2&-2&0\end{array}\right).
 +
</math>
 +
 +
 +
Matrisen <math> A </math> är symmetrisk och spektralsatsen säger att den är diagonaliserbar.
 +
Egenvärdena till <math> A </math> är <math> \lambda_{1}=-3 </math>,
 +
<math> \lambda_2=0 </math> och <math> \lambda_{3}=3 </math>.
 +
 +
Tillhörande egenvektorer är
 +
<math> \boldsymbol{v}_{1}=(1,2,2)^t </math>, <math> \boldsymbol{v}_{2}=(2,-2,1)^t </math> och
 +
<math> \boldsymbol{v}_{2}=(2,1,-2)^t </math>.
 +
 +
Eftersom <math> \boldsymbol{v}_{1} </math> och <math> \boldsymbol{v}_{2} </math> är linjärt oberoende så är <math> A </math>
 +
diagonaliserbar, dvs <math> A=TDT^{-1} </math>.
 +
 +
 +
Substitutionen <math> \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} </math> ger att
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}
 +
\Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}z_1'(t)&=&-3z_1(t)\\z_2'(t)&=&0\phantom{z_3(t)}\\z_3'(t)&=&3z_3(t)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
som har lösningen
 +
<math> z_1=c_1e^{-3t} </math>, <math> z_2(t)=c_2 </math> och <math> z_3=c_3e^{3t} </math>.
 +
 +
Allmän lösning är alltså
 +
<center><math> \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z}, </math></center>
 +
 +
dvs
 +
 +
<math> y_1(t)=c_1e^{-3t}+2c_2+2c_3e^{3t} </math>,
 +
<math> y_2(t)=2c_1e^{-3t}-2c_2+c_3e^{3t} </math> och <math> y_3(t)=2c_1e^{-3t}+c_2-2c_3e^{3t} </math>.
 +
 +
 +
Begynnelsevillkoret ger
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcl}y_1(0)&=&5\\y_2(0)&=&1\\y_3(0)&=&1\end{array}\right.
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{rcl}c_1+2c_2+2c_3&=&5\\2c_1-2c_2+c_3&=&1\\2c_1+c_2-2c_3&=&1\end{array}\right.
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{rcl}c_1&=&1\\c_2&=&1\\c_3&=&1\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Speciella lösningen är
 +
 +
<center><math> y_1(t)=e^{-3t}+2+2e^{3t} </math>, <math> y_2(t)=2e^{-3t}-2+e^{3t} </math> och <math> y_3(t)=2e^{-3t}+1-2e^{3t} </math></center>

Versionen från 20 september 2010 kl. 09.44

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Systemet kan skrivas \displaystyle \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&-2\\0&-1&-2\\-2&-2&0\end{array}\right).


Matrisen \displaystyle A är symmetrisk och spektralsatsen säger att den är diagonaliserbar. Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_{1}=-3 , \displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_{3}=3 .

Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_{1}=(1,2,2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(2,-2,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(2,1,-2)^t .

Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_{1} och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2} är linjärt oberoende så är \displaystyle A diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{-1} .


Substitutionen \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} ger att


\displaystyle

\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y} 

       \Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}z_1'(t)&=&-3z_1(t)\\z_2'(t)&=&0\phantom{z_3(t)}\\z_3'(t)&=&3z_3(t)\end{array}\right.


som har lösningen \displaystyle z_1=c_1e^{-3t} , \displaystyle z_2(t)=c_2 och \displaystyle z_3=c_3e^{3t} .

Allmän lösning är alltså

\displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z},

dvs

\displaystyle y_1(t)=c_1e^{-3t}+2c_2+2c_3e^{3t} , \displaystyle y_2(t)=2c_1e^{-3t}-2c_2+c_3e^{3t} och \displaystyle y_3(t)=2c_1e^{-3t}+c_2-2c_3e^{3t} .


Begynnelsevillkoret ger


\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcl}y_1(0)&=&5\\y_2(0)&=&1\\y_3(0)&=&1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1+2c_2+2c_3&=&5\\2c_1-2c_2+c_3&=&1\\2c_1+c_2-2c_3&=&1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1&=&1\\c_2&=&1\\c_3&=&1\end{array}\right.


Speciella lösningen är

\displaystyle y_1(t)=e^{-3t}+2+2e^{3t} , \displaystyle y_2(t)=2e^{-3t}-2+e^{3t} och \displaystyle y_3(t)=2e^{-3t}+1-2e^{3t}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.34