Tips och lösning till U 22.34
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Se uppgift 22.33
Tips 2
Tips 3
Lösning
Systemet kan skrivas \displaystyle \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} , där
\displaystyle
A=\left(\begin{array}{rrr}1&0&-2\\0&-1&-2\\-2&-2&0\end{array}\right).
Matrisen \displaystyle A är symmetrisk och spektralsatsen säger att den är diagonaliserbar.
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_{1}=-3 ,
\displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_{3}=3 .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{v}_{1}=(1,2,2)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(2,-2,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(2,1,-2)^t .
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_{1} och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2} är linjärt oberoende så är \displaystyle A diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{-1} .
Substitutionen \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} ger att
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}
\Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}z_1'(t)&=&-3z_1(t)\\z_2'(t)&=&0\phantom{z_3(t)}\\z_3'(t)&=&3z_3(t)\end{array}\right.
som har lösningen
\displaystyle z_1=c_1e^{-3t} , \displaystyle z_2(t)=c_2 och \displaystyle z_3=c_3e^{3t} .
Allmän lösning är alltså
dvs
\displaystyle y_1(t)=c_1e^{-3t}+2c_2+2c_3e^{3t} , \displaystyle y_2(t)=2c_1e^{-3t}-2c_2+c_3e^{3t} och \displaystyle y_3(t)=2c_1e^{-3t}+c_2-2c_3e^{3t} .
Begynnelsevillkoret ger
\left\{\begin{array}{rcl}y_1(0)&=&5\\y_2(0)&=&1\\y_3(0)&=&1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1+2c_2+2c_3&=&5\\2c_1-2c_2+c_3&=&1\\2c_1+c_2-2c_3&=&1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1&=&1\\c_2&=&1\\c_3&=&1\end{array}\right.
Speciella lösningen är
