Tips och lösning till U 5.12
SamverkanLinalgLIU
| Rad 33: | Rad 33: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
| - | \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} | + | \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} |
\Leftrightarrow | \Leftrightarrow | ||
\begin{pmatrix} 2z-3y \\ 3x-z \\ -2x+y \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 2z-3y \\ 3x-z \\ -2x+y \end{pmatrix} | ||
Nuvarande version
Tips 1
I en vektorekvation har vi en vektor i båda leden och dessa skall vara lika.
Tips 2
Båda vektorerna i VL är enl egenskaperna hos vektorprodukt (se definition 4.3 pkt 1) vinkelräta mot HL. Detta kan du utnyttja genom att HL skall vara ortogonalt mot vektorn \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
Tips 3
En skalärprodukt ger nu värdet på a. Du kan nu beräkna vektorprodukten i VL. För att VL=HL skall gälla så skall respektive koordinater vara lika. Detta leder till ett ekvationssystem som du löser.
Lösning
Enligt egenskaperna hos vektorprodukten, se Definition 4.3, så är vektorn
\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ a \\ 3\end{pmatrix} ortogonal mot vektorn \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3\end{pmatrix} vilket ger
\begin{pmatrix} 1\\ a \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3\end{pmatrix} =2a+10=0\Leftrightarrow a=-5.
Vi löser vektorekvationen för \displaystyle a=-5 och får
\begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x\\ y \\ z\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2z-3y \\ 3x-z \\ -2x+y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ -5 \\ 3\end{pmatrix} =\left\{\begin{array}{lcr}2z-3y&=&1\\3x-z&=&-5\\-2x+y&=&3 \end{array}\right.
Gausselimination ger \displaystyle x=-5/3, \displaystyle y=-1/3 och \displaystyle z=0.
