Tips och lösning till U 7.11
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Observera att i detta fall har inte matrisen A någon invers eftersom den inte är kvadratisk. Kan man ändå lösa ekvationen? | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Eftersom <math>A</math> är en <math>3\times2</math> matris och <math>B</math> är en <math>2\times2</math>, så måste | |
| + | <math>X</math> vara en <math>2\times3</math> om systemet går att lösa. Metoden vi använder är att ansätta <math>X=\left(\begin{array}{rrr}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\end{array}\right)</math> | ||
| + | |||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Vi kan då söka lösningar till systemet <center><math> | |
| + | XA=B\Leftrightarrow | ||
| + | \left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& | ||
| + | {-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ | ||
| + | {2x_{21}-x_{22}+x_{23}}&{-4x_{21}+3x_{22}-2x_{23}}\end{array}\right) | ||
| + | =\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right). | ||
| + | </math></center> som kan delas upp i två mindre system. I detta fall är det inte självklart att vi får en entydig lösning som vi fått i de tidigare uppgifterna. Hade inversen till A funnits (som i de tidigare uppgifterna) så kan ju matrisekvationen bara ge ett resultat. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| Rad 30: | Rad 38: | ||
\left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& | \left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& | ||
{-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ | {-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ | ||
| - | {2x_{21}-x_{22}+x_{ | + | {2x_{21}-x_{22}+x_{23}}&{-4x_{21}+3x_{22}-2x_{23}}\end{array}\right) |
=\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right). | =\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right). | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Nuvarande version
Tips 1
Observera att i detta fall har inte matrisen A någon invers eftersom den inte är kvadratisk. Kan man ändå lösa ekvationen?
Tips 2
Eftersom \displaystyle A är en \displaystyle 3\times2 matris och \displaystyle B är en \displaystyle 2\times2, så måste \displaystyle X vara en \displaystyle 2\times3 om systemet går att lösa. Metoden vi använder är att ansätta \displaystyle X=\left(\begin{array}{rrr}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\end{array}\right)
Tips 3
Vi kan då söka lösningar till systemetXA=B\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& {-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ {2x_{21}-x_{22}+x_{23}}&{-4x_{21}+3x_{22}-2x_{23}}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right).
Lösning
Eftersom \displaystyle A är en \displaystyle 3\times2 matris och \displaystyle B är en \displaystyle 2\times2, så måste \displaystyle X vara en \displaystyle 2\times3.
Låt \displaystyle X=\left(\begin{array}{rrr}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\end{array}\right)
Då är
XA=B\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}{2x_{11}-x_{12}+x_{13}}& {-4x_{11}+3x_{12}-2x_{13}}\\ {2x_{21}-x_{22}+x_{23}}&{-4x_{21}+3x_{22}-2x_{23}}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rr} 3 & -6\\ -2 & 6\end{array}\right).
Systemet ovan kan delas in i två mindre oberoende ekvationssystem
\left\{\begin{array}{rrr}2x_{11}-x_{12}+x_{13}&=&3\\ -4x_{11}+3x_{12}-2x_{13} &=& -6 \end{array}\right. \qquad \mbox{och} \qquad \left\{\begin{array}{rrr}2x_{21}-x_{22}+x_{23}&=&-2\\ -4x_{21}+3x_{22}-2x_{23} &=& 6 \end{array}\right.
Gausselimination ger
\left\{\begin{array}{rrr}2x_{11}-x_{12}+x_{13}&=&3\\ x_{12}&=& 0 \end{array}\right. \qquad \mbox{och} \qquad \left\{\begin{array}{rrr}2x_{21}-x_{22}+x_{23}&=&-2\\ x_{22} &=& 2 \end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_{11}=t och \displaystyle x_{21}=s får vi att \displaystyle x_{13}=3-2t resp. \displaystyle x_{23}=-2s.
Detta ger att
\displaystyle X=\left(\begin{array}{rrr}t&0&3-2t\\s&2&-2s\end{array}\right),
\displaystyle s,t,\in{\bf R}.
