Tips och lösning till U 7.18c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 8: Rad 8:
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Antag att <math>A</math> och <math>B</math> är godtyckliga kvadratisk matriser.
+
Antag att <math>A</math> och <math>B</math> är godtyckliga kvadratiska matriser.
-
Hur ser diagonalelementen ut för <math>AB</math> resp. <math>BA</math>?
+
Hur ser diagonalelementen ut för matrisen <math>C=AB</math> resp. <math>D=BA</math>?
-
Visa att <math>sp(AB)=sp(BA)</math>.
+
Visa att <math>sp(C)=sp(D)</math>.
Rad 16: Rad 16:
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hur ser <math>sp(AB-BA)</math> och <math>E</math> ut?
+
Hur ser <math>sp(AB-BA)</math> och <math>sp(E)</math> ut?
Rad 23: Rad 23:
'''Lösning'''
'''Lösning'''
-
Det j:te diagonalelementet för matrisen <math>AB</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i
+
Diagonalelementet <math>c_{jj}</math> för matrisen <math>C=AB</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i <math>A</math>, med kolonn <math>j</math> i <math>B</math>, dvs
-
<math>A</math>, med kolonn <math>j</math> i <math>B</math>, dvs
+
<center><math>c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.</math></center>
-
<center><math>\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}</math></center>
+
Därmed är
 +
<center><math>sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n (a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}. </math></center>
 +
 
 +
 
Det j:te diagonalelementet för matrisen <math>BA</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i <math>B</math> med kolonn <math>j</math> i <math>A</math>, dvs
Det j:te diagonalelementet för matrisen <math>BA</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i <math>B</math> med kolonn <math>j</math> i <math>A</math>, dvs
<center><math>\sum_{k=1}^n b_{jk}a_{kj} = b_{j1}a_{1j}+b_{j2}a_{2j}+\cdots+b_{jn}a_{nj}</math></center>
<center><math>\sum_{k=1}^n b_{jk}a_{kj} = b_{j1}a_{1j}+b_{j2}a_{2j}+\cdots+b_{jn}a_{nj}</math></center>

Versionen från 8 november 2015 kl. 15.49

Tips 1

Visa detta först för \displaystyle A och \displaystyle B som är \displaystyle 2\times2-matriser.


Tips 2

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är godtyckliga kvadratiska matriser. Hur ser diagonalelementen ut för matrisen \displaystyle C=AB resp. \displaystyle D=BA? Visa att \displaystyle sp(C)=sp(D).


Tips 3

Hur ser \displaystyle sp(AB-BA) och \displaystyle sp(E) ut?


Lösning

Diagonalelementet \displaystyle c_{jj} för matrisen \displaystyle C=AB ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle A, med kolonn \displaystyle j i \displaystyle B, dvs

\displaystyle c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

Därmed är

\displaystyle sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n (a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.


Det j:te diagonalelementet för matrisen \displaystyle BA ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle B med kolonn \displaystyle j i \displaystyle A, dvs

\displaystyle \sum_{k=1}^n b_{jk}a_{kj} = b_{j1}a_{1j}+b_{j2}a_{2j}+\cdots+b_{jn}a_{nj}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_7.18c