Tips och lösning till U 7.18c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 23: Rad 23:
'''Lösning'''
'''Lösning'''
-
Diagonalelementet <math>c_{jj}</math> för matrisen <math>C=AB</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i <math>A</math>, med kolonn <math>j</math> i <math>B</math>, dvs
+
Diagonalelementet <math>c_{jj}</math> för matrisen <math>C=AB</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i <math>A</math> med kolonn <math>j</math> i <math>B</math>, dvs
<center><math>c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.</math></center>
<center><math>c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.</math></center>
Därmed är
Därmed är
<center><math>sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}. </math></center>
<center><math>sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}. </math></center>
För enkelhetens skull antar vi att <math>n=2</math>, dvs <math>A</math> och <math>B</math> är <math>2\times2</math>-matriser. Vi får då
För enkelhetens skull antar vi att <math>n=2</math>, dvs <math>A</math> och <math>B</math> är <math>2\times2</math>-matriser. Vi får då
-
<center><math>sp(AB)= (a_{11}b_{11j+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}. </math></center>
+
<center><math>sp(AB)= a_{11}b_{11j+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.</math></center>

Versionen från 8 november 2015 kl. 16.03

Tips 1

Visa detta först för \displaystyle A och \displaystyle B som är \displaystyle 2\times2-matriser.


Tips 2

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är godtyckliga kvadratiska matriser. Hur ser diagonalelementen ut för matrisen \displaystyle C=AB resp. \displaystyle D=BA? Visa att \displaystyle sp(C)=sp(D).


Tips 3

Hur ser \displaystyle sp(AB-BA) och \displaystyle sp(E) ut?


Lösning

Diagonalelementet \displaystyle c_{jj} för matrisen \displaystyle C=AB ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle A med kolonn \displaystyle j i \displaystyle B, dvs

\displaystyle c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

Därmed är

\displaystyle sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

För enkelhetens skull antar vi att \displaystyle n=2, dvs \displaystyle A och \displaystyle B är \displaystyle 2\times2-matriser. Vi får då

\displaystyle sp(AB)= a_{11}b_{11j+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.


Det j:te diagonalelementet för matrisen \displaystyle BA ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle B med kolonn \displaystyle j i \displaystyle A, dvs

\displaystyle \sum_{k=1}^n b_{jk}a_{kj} = b_{j1}a_{1j}+b_{j2}a_{2j}+\cdots+b_{jn}a_{nj}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_7.18c