Tips och lösning till U 7.18c
SamverkanLinalgLIU
Rad 26: | Rad 26: | ||
<center><math>c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.</math></center> | <center><math>c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.</math></center> | ||
Därmed är | Därmed är | ||
- | <center><math>sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}. | + | <center><math>sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}. </math></center> |
För enkelhetens skull antar vi att <math>n=2</math>, dvs <math>A</math> och <math>B</math> är <math>2\times2</math>-matriser. Vi får då | För enkelhetens skull antar vi att <math>n=2</math>, dvs <math>A</math> och <math>B</math> är <math>2\times2</math>-matriser. Vi får då | ||
<center><math>sp(AB)= a_{11}b_{11j+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.</math></center> | <center><math>sp(AB)= a_{11}b_{11j+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.</math></center> |
Versionen från 8 november 2015 kl. 16.05
Tips 1
Visa detta först för \displaystyle A och \displaystyle B som är \displaystyle 2\times2-matriser.
Tips 2
Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är godtyckliga kvadratiska matriser. Hur ser diagonalelementen ut för matrisen \displaystyle C=AB resp. \displaystyle D=BA? Visa att \displaystyle sp(C)=sp(D).
Tips 3
Hur ser \displaystyle sp(AB-BA) och \displaystyle sp(E) ut?
Lösning
Diagonalelementet \displaystyle c_{jj} för matrisen \displaystyle C=AB ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle A med kolonn \displaystyle j i \displaystyle B, dvs
Därmed är
För enkelhetens skull antar vi att \displaystyle n=2, dvs \displaystyle A och \displaystyle B är \displaystyle 2\times2-matriser. Vi får då
Det j:te diagonalelementet för matrisen \displaystyle BA ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle B med kolonn \displaystyle j i \displaystyle A, dvs