Tips och lösning till U 7.18c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 29: Rad 29:
För enkelhetens skull antar vi att <math>n=2</math>, dvs <math>A</math> och <math>B</math> är <math>2\times2</math>-matriser. Vi får då
För enkelhetens skull antar vi att <math>n=2</math>, dvs <math>A</math> och <math>B</math> är <math>2\times2</math>-matriser. Vi får då
<center><math>sp(AB)= a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.</math></center>
<center><math>sp(AB)= a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.</math></center>
-
 
+
På samma sätt får vi att
-
 
+
<center><math>sp(BA)=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}.</math></center>
-
 
+
-
Det j:te diagonalelementet för matrisen <math>BA</math> ges av multiplikationen av rad <math>j</math> i <math>B</math> med kolonn <math>j</math> i <math>A</math>, dvs
+
-
<center><math>\sum_{k=1}^n b_{jk}a_{kj} = b_{j1}a_{1j}+b_{j2}a_{2j}+\cdots+b_{jn}a_{nj}</math></center>
+

Versionen från 8 november 2015 kl. 16.07

Tips 1

Visa detta först för \displaystyle A och \displaystyle B som är \displaystyle 2\times2-matriser.


Tips 2

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är godtyckliga kvadratiska matriser. Hur ser diagonalelementen ut för matrisen \displaystyle C=AB resp. \displaystyle D=BA? Visa att \displaystyle sp(C)=sp(D).


Tips 3

Hur ser \displaystyle sp(AB-BA) och \displaystyle sp(E) ut?


Lösning

Diagonalelementet \displaystyle c_{jj} för matrisen \displaystyle C=AB ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle A med kolonn \displaystyle j i \displaystyle B, dvs

\displaystyle c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

Därmed är

\displaystyle sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

För enkelhetens skull antar vi att \displaystyle n=2, dvs \displaystyle A och \displaystyle B är \displaystyle 2\times2-matriser. Vi får då

\displaystyle sp(AB)= a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.

På samma sätt får vi att

\displaystyle sp(BA)=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}.
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_7.18c