Tips och lösning till U 7.18c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 31: Rad 31:
På samma sätt får vi att
På samma sätt får vi att
<center><math>sp(BA)=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}.</math></center>
<center><math>sp(BA)=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}.</math></center>
 +
Vi har alltså visat att
 +
<center><math>sp(AB)=sp(BA)</math></center>
 +
Detta ger att
 +
<center><math>sp(AB-BA)=0</math></center>. Men spåret för högra elidet är <math>n</math>, ty
 +
<center><math>sp(E)=1+1+\cdots+1=n</math></center>
 +
Detta är motsägelse och därmed kan det inte finnas matriser <math>A</math> och <math>B</math> så att
 +
<math>AB-BA=E</math>.

Versionen från 8 november 2015 kl. 16.12

Tips 1

Visa detta först för \displaystyle A och \displaystyle B som är \displaystyle 2\times2-matriser.


Tips 2

Antag att \displaystyle A och \displaystyle B är godtyckliga kvadratiska matriser. Hur ser diagonalelementen ut för matrisen \displaystyle C=AB resp. \displaystyle D=BA? Visa att \displaystyle sp(C)=sp(D).


Tips 3

Hur ser \displaystyle sp(AB-BA) och \displaystyle sp(E) ut?


Lösning

Diagonalelementet \displaystyle c_{jj} för matrisen \displaystyle C=AB ges av multiplikationen av rad \displaystyle j i \displaystyle A med kolonn \displaystyle j i \displaystyle B, dvs

\displaystyle c_{jj}=\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj} = a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

Därmed är

\displaystyle sp(AB)=sp(C)= \sum_{j=1}^n c_{jj} = \sum_{j=1}^n a_{j1}b_{1j}+a_{j2}b_{2j}+\cdots+a_{jn}b_{nj}.

För enkelhetens skull antar vi att \displaystyle n=2, dvs \displaystyle A och \displaystyle B är \displaystyle 2\times2-matriser. Vi får då

\displaystyle sp(AB)= a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.

På samma sätt får vi att

\displaystyle sp(BA)=b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}.

Vi har alltså visat att

\displaystyle sp(AB)=sp(BA)

Detta ger att

\displaystyle sp(AB-BA)=0
. Men spåret för högra elidet är \displaystyle n, ty
\displaystyle sp(E)=1+1+\cdots+1=n

Detta är motsägelse och därmed kan det inte finnas matriser \displaystyle A och \displaystyle B så att \displaystyle AB-BA=E.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_7.18c