[redigera] Förlängning och förkortning
Ett rationellt tal kan skrivas på många sätt, beroende på
vilken nämnare man väljer att använda. Exempelvis har vi att
$$
0{,}25=\displaystyle \frac{25}{100}=\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{8}=\displaystyle \frac{3}{12}=\displaystyle \frac{4}{16}\quad\textrm{o.s.v.} $$
Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller
dividerar täljare och nämnare med samma tal. Dessa operationer kallas
förlängning respektive förkortning.
Exempel 1
Förlängning:
- $\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\displaystyle \frac{10}{15}$
- $\displaystyle \frac{5}{7}=\displaystyle \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4}=\displaystyle \frac{20}{28}$
Förkortning:
- $\displaystyle \frac{9}{12}=\displaystyle \frac{9/3}{12/3}=\displaystyle \frac{3}{4}$
- $\displaystyle \frac{72}{108}=\displaystyle \frac{72/2}{108/2}=\displaystyle \frac{36}{54}=\displaystyle \frac{36/6}{54/6}=\displaystyle \frac{6}{9}=\displaystyle \frac{6/3}{9/3}=\displaystyle \frac{2}{3}$
Man bör alltid ange ett bråk förkortat så långt som möjligt.
Detta kan vara arbetsamt när stora tal är inblandade, varför man redan under
en pågående uträkning bör försöka hålla bråk i
så förkortad form som möjligt.
[redigera] Addition och subtraktion av bråk
Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare.
Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk
med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles.
Exempel 2
- $\displaystyle \frac{3}{5}+\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}+\displaystyle \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\displaystyle \frac{9}{15}+\displaystyle \frac{10}{15}=\displaystyle \frac{9+10}{15}=\displaystyle \frac{19}{15} $
- $\displaystyle \frac{5}{6}-\displaystyle \frac{2}{9}=\displaystyle \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}-\displaystyle \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2}=\displaystyle \frac{15}{18}-\displaystyle \frac{4}{18}=\displaystyle \frac{15-4}{18}=\displaystyle \frac{11}{18}$
Det viktiga är här att åstadkomma en gemensam nämnare, men man bör
sträva efter att hitta en så låg gemensam nämnare som möjligt.
Idealet är att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN).
Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade
nämnarna med varandra. Detta är dock inte alltid nödvändigt.
Exempel 3
- $\displaystyle \frac{7}{15}-\displaystyle \frac{1}{12}=
\displaystyle \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12}-\displaystyle \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}
$
$=\displaystyle \frac{84}{180}-\displaystyle \frac{15}{180}
=\displaystyle \frac{69}{180}
=\displaystyle \frac{69/3}{180/3}
=\displaystyle \frac{23}{60}$
- $\displaystyle \frac{7}{15}-\displaystyle \frac{1}{12}
=\displaystyle \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}-\displaystyle \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5}
$
$=\displaystyle \frac{28}{60}-\displaystyle \frac{5}{60}=\displaystyle \frac{23}{60}$
- $\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{3}{4}-\displaystyle \frac{1}{6}=
\displaystyle \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6}+\displaystyle \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6}-\displaystyle \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}
$
$=\displaystyle \frac{24}{192}+\displaystyle \frac{144}{192}-\displaystyle \frac{32}{192}
=\displaystyle \frac{136}{192}
=\displaystyle \frac{136/8}{192/8}
=\displaystyle \frac{17}{24}$
- $\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{3}{4}-\displaystyle \frac{1}{6}=
\displaystyle \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3}+\displaystyle \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6}-\displaystyle \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4}
=\displaystyle \frac{3}{24}+\displaystyle \frac{18}{24}-\displaystyle \frac{4}{24}
=\displaystyle \frac{17}{24}$
Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om
nämnarna är av rimlig storlek. Att allmänt bestämma den minsta gemensamma
nämnaren kräver att man studerar vilka primtal som ingår som faktorer i
respektive nämnare.
Exempel 4
- Beräkna $\displaystyle\ \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42}$.
Delar vi upp 60 och 42 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 42 genom att multiplicera ihop deras faktorer men undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt
$$\left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\mbox{.}$$
Vi kan då skriva
$$\frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42} =\frac{1\cdot 7}{60\cdot 7}+\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5}
=\frac{7}{420}+\displaystyle \frac{10}{420}=\frac{17}{420}$$
- Beräkna $\displaystyle\ \frac{2}{15}+\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{5}{18}$.
Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 15, 6 och 18
$$\left.\eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\mbox{.}$$
Vi kan då skriva
$$\frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5}-\frac{5\cdot 5}{18\cdot 5}=\frac{12}{90}+\frac{15}{90}-\frac{25}{90}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$$
[redigera] Multiplikation
När ett bråk multipliceras med ett heltal, multipliceras endast täljaren
med heltalet. Det är uppenbart att om t.ex. $ \displaystyle \frac{1}{3} $
multipliceras med 2 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{2}{3}$, dvs.
$$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2=\displaystyle \frac{1\cdot 2}{3}=\displaystyle \frac{2}{3}$$
Om två bråk multipliceras med varandra, multipliceras täljarna med varandra
och nämnarna med varandra.
Exempel 5
- $8\cdot \displaystyle \frac{3}{7}=\displaystyle \frac{8\cdot 3}{7} = \displaystyle \frac{24}{7}$
- $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{1}{5}=\displaystyle \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \displaystyle \frac{2}{15}$
Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är
möjligt att förkorta bråket. Detta utförs genom att stryka eventuella
gemensamma faktorer i täljare och nämnare.
Exempel 6
Jämför uträkningarna:
- $\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \displaystyle \frac{6}{15} = \displaystyle \frac{6/3}{15/3} = \displaystyle \frac{2}{5}$
- $\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \displaystyle \frac{2}{5}$
Att stryka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med 3 i ett tidigare skede.
Exempel 7
- $\displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7}= \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1}= \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}$
- $\displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21}
=\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7}
=\frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}}
=\frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3}
= \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}
=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 3}
=\frac{8}{9}$
Om $ \displaystyle \frac{1}{4} $ delas i 2 så blir svaret $ \displaystyle \frac{1}{8} $.
Om $ \displaystyle \frac{1}{2} $ delas i 5 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{1}{10} $
.
Vi har alltså att
$$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \displaystyle \frac{1}{4\cdot 2} = \displaystyle \frac{1}{8} \qquad \mbox{ och } \qquad
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \displaystyle \frac{1}{2\cdot 5} = \displaystyle \frac{1}{10}$$
När ett bråk divideras med ett heltal, multipliceras alltså nämnaren med heltalet.
Exempel 8
- $\displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 =\displaystyle \frac{3}{5\cdot 4} = \displaystyle \frac{3}{20}$
- $\displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 =\displaystyle \frac{^2\not{6}}{7\cdot \not{3}} =\displaystyle \frac{2}{7}$
När ett tal divideras med ett bråk, multipliceras talet med bråket inverterat
("uppochnervänt"). Att t.ex. dividera med $ \displaystyle \frac{1}{2} $ är ju
samma sak som att multiplicera med $ \displaystyle \frac{2}{1} $ dvs. 2.
Exempel 9
- $\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} =3\cdot \displaystyle \frac{2}{1} =\displaystyle \frac{3\cdot 2}{1}= 6$
- $\displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} =5\cdot \displaystyle \frac{7}{3} =\displaystyle \frac{5\cdot 7}{3} =\displaystyle \frac{35}{3}$
- $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} =\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{8}{5} =\displaystyle \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} =\displaystyle \frac{16}{15}$
- $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} =
\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \displaystyle \frac{10}{9}=
\displaystyle \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}}\cdot \displaystyle \frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} =
\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3} =
\displaystyle \frac{5}{6}$
Hur kan bråkdivision förvandlas till multiplikation?
Förklaringen är att om ett bråk multipliceras med sitt
inverterade bråk blir produkten alltid 1, t.ex.
$$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{3}{2} = \displaystyle \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot \displaystyle \frac{\not{3}}{\not{2}} = 1
\qquad \mbox{eller} \qquad
\displaystyle \frac{9}{17}\cdot \displaystyle \frac{17}{9}= \displaystyle \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot \displaystyle \frac{\not{17}}{\not{9}} = 1$$
Om man i en bråkdivision förlänger täljare och nämnare
med nämnarens inverterade bråk, får man alltid 1 i nämnaren
och resultatet blir täljaren multiplicerad med den ursprungliga
nämnarens inverterade bråk.
Exempel 10
$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} =
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} =
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} =
\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}$
[redigera] Bråk som andelar
Rationella tal är alltså tal som kan skrivas i bråkform, omvandlas
till decimalform, eller markeras på en tallinje. I vårt vardagliga
språkbruk används också bråk när man beskriver andelar
av något. Här nedan ges några exempel. Lägg märke till
hur vi använder ordet "av", vilket kan betyda såväl
multiplikation som division.
Exempel 11
- Olle satsade 20 kr och Stina 50 kr.
Olles andel är $ \displaystyle \frac{20}{50 + 20} =\displaystyle \frac{20}{70} = \displaystyle \frac{2}{7} $ och han bör alltså få $\displaystyle \frac{2}{7}$ av vinsten.
- Hur stor del utgör 45 kr av 100 kr?
Svar: 45 kr är $ \displaystyle \frac{45}{100}=\displaystyle \frac{9}{20} $ av 100 kr.
- Hur stor del utgör $ \displaystyle \frac{1}{3}$ liter av $\displaystyle\frac{1}{2}$ liter?
Svar: $ \displaystyle \frac{1}{3}$ liter är
$\displaystyle \frac{\displaystyle
\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}}= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot\displaystyle \frac{2}{1}=\displaystyle
\frac{2}{3} $ av $ \displaystyle \frac{1}{2}$ liter.
- Hur mycket är $\displaystyle \frac{5}{8} $ av 1000?
Svar: $\displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000=\displaystyle \frac{5000}{8}=625$
- Hur mycket är $\displaystyle \frac{2}{3}$ av $\displaystyle
\frac{6}{7}$ ?
Svar: $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{6}{7} = \displaystyle \frac{2}{\not{3}} \cdot \displaystyle \frac{2 \cdot \not{3}}{7} =\displaystyle \frac{2 \cdot 2}{7}=\displaystyle \frac{4}{7}$
[redigera] Blandade uttryck
När bråk förekommer i räkneuttryck gäller naturligtvis metoderna
för de fyra räknesätten som vanligt, samt prioriteringsreglerna (multiplikation/division
före addition/subtraktion). Kom också ihåg att täljare och nämnare i
ett divisionsuttryck beräknas var för sig innan divisionen utförs ("osynliga parenteser").
Exempel 12
- $ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{3}{4}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}+\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12}+\displaystyle \frac{9}{12}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}}=
1\cdot\displaystyle \frac{12}{17}=
\displaystyle \frac{12}{17}$
- $ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\displaystyle \frac{1}{6}}
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}+\displaystyle \frac{1}{6}}
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{8}{6}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}}
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}}
=\displaystyle \frac{7}{\not{6}}\cdot\displaystyle \frac{\not{6}}{9}
=\displaystyle \frac{7}{9}$
- $\displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}
= \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)
= -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}
= -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}
=-\displaystyle \frac{9}{5}$
- $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5}
\cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}/\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}}=
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}-\frac{3\cdot1}{5\cdot3}
}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{5}{1}-\displaystyle\frac{
\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}}
=
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle
\frac{10}{3}-\displaystyle
\frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}}=$
$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{5}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3}+
\displaystyle \frac{1}{24}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\displaystyle \frac{1}{24}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}}=
\displaystyle \frac{24}{81}=
\displaystyle \frac{8}{27}$
Övningar
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Tänk på att:
Sträva alltid efter att skriva ett uttryck i enklast möjliga form. Vad som är "enklast" beror dock oftast på sammanhanget.
Det är viktigt att du verkligen behärskar bråkräkning. Att du kan hitta en gemensam nämnare, förkorta och förlänga etc. Principerna är nämligen grundläggande när man ska räkna med rationella uttryck som innehåller variabler och för att du ska kunna hantera andra matematiska uttryck och operationer.
Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.
Lästips
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia
Bråkräkning - Fri text
Länktips
Experimentera interaktivt med bråk
Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk.
| 
