Exempel 1

Hur hög är flaggstången?

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med $\,x\,$ nedan).

Från definitionen av tangens har vi att $$\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}$$

och eftersom $\,\tan 40^\circ \approx 0{,}84\,$ så är $$x= 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}$$

Exempel 2

Bestäm längden av sidan markerad med $\,x\,$ i figuren.

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $\,u\,$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\,\tan u\,$.

$$\tan u = \displaystyle \frac{22}{40}$$

$$\tan u = \displaystyle \frac{x}{60}$$

Sätter vi de två uttrycken för $\,\tan u\,$ lika fås $$\frac{22}{40} = \frac{x}{60}$$

vilket ger att $\,x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33\,$.

Exempel 3

1. 
   I triangeln till vänster är

   $$\eqalign{\cos u &= \textstyle\frac{4}{5}\cr \sin u &= \frac{3}{5}\cr}$$

2. 
   Definitionen av sinus ger att

   $$\sin 38^\circ = \frac{x}{5}$$ och vet vi att $\,\sin 38^\circ \approx 0{,}616\,$ så får vi att $$x=5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}$$

3. 
   Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan

   $$\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}$$ Alltså är $$x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}$$

Exempel 4

Bestäm $\,\sin u\,$ i triangeln

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

$$1^2= \bigl( \textstyle \frac{1}{2} \bigr)^2 + x^2\quad\Leftrightarrow\quad x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$$

och därför är $\,\sin u = \displaystyle \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\,$.

Exempel 5

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.

Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd $\,x\,$, $$x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln $45^\circ$.

$$\eqalign{\cos 45^\circ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cr \sin 45^\circ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cr \tan 45^\circ &= \displaystyle \frac{1}{1}= 1\cr}$$

Exempel 6

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.

Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $\,x=\sqrt{3}/2\,$. Från en triangelhalva får vi att

$$\eqalign{\displaystyle\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\cr \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\,;\cr \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\cr \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}}$$

Exempel 7

Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus.

1. 

   $\cos 104^\circ \approx -0{,}24$
   
   $\sin 104^\circ \approx 0{,}97$
   
   $\tan 104^\circ \approx \displaystyle \frac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0$
   
   

2. 

   $\cos 201^\circ \approx -0{,}93$
   
   $\sin 201^\circ \approx -0{,}36$
   
   $\tan 201^\circ \approx \displaystyle \frac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4$

Exempel 8

Vilket tecken har

1. 
   $\cos 209^\circ$
   
   

   Eftersom vinkeln $\,209^\circ\,$ kan skrivas som $\,209^\circ = 180^\circ + 29^\circ\,$ så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ x-koordinat, vilket betyder att $\,\cos 209^\circ\,$ är negativ.
   
   
   

2. 
   $\sin 133^\circ$
   
   

   Vinkeln $\,133^\circ\,$ är lika med $\,90^\circ + 43^\circ\,$ och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv y-koordinat och därför är $\,\sin 133^\circ\,$ positiv.
   
   
   

3. 
   $\tan (-40^\circ)$
   
   

   Ritas vinkeln $\,-40^\circ\,$ in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. $\,\tan (-40^\circ)\,$ är negativ.
   
   
   

Exempel 9

Bestäm $\ \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3}\,$.

Omskrivningen $$\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$$

visar att vinkeln $\,2\pi/3\,$ hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln $\,\pi/6\,$ med den positiva y-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att $\,2\pi/3\,$-punkten på enhetscirkeln har en y-koordinat som är lika med den närliggande kateten $\,\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2\,$. Alltså är $$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}$$

Exempel 10

Hur många lösningar har ekvationen $\,\cos x = x^2\,$? (där $x$ mäts i radianer)

Genom att rita upp graferna $\,y=\cos x\,$ och $\,y=x^2\,$ ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två x-värden för vilka motsvarande y-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.