3.1 Rötter

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 6 maj 2007 kl. 13.00

Innehåll:

Kvadratrot och n:te rot
Rotlagar

Läromål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Skriva om ett rotuttryck i potensform.
Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander.
Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda).

Övningar

Teori

Kvadratrötter

Symbolen \,\sqrt{a}\,, kvadratroten ur \,a\,, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir a. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen \,x^2 = 4\, har två lösningar \,x = 2\, och \,x = -2\,, eftersom såväl \,2\cdot 2 = 4\, som \,(-2)\cdot(-2) = 4\,. Man skulle då kunna tro att \,\sqrt{4}\, kan vara vilket som helst av \,-2\, och \,2\,, dvs. \,\sqrt{4}= \pm 2\,, men \,\sqrt{4}\, betecknar bara det positiva talet 2.

Kvadratroten \sqrt{a}\, betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir \,a,\, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen \,x^2 = a\,.

Kvadratroten ur \,a\, kan även skrivas \,a^{1/2}\,.

Det är därför fel att påstå att \,\sqrt{4}= \pm 2,\, men korrekt att säga att ekvationen \,x^2 = 4\, har lösningarna \,x = \pm 2\,.

Exempel 1

\sqrt{0}=0 \quad eftersom \,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\, och \,0\, är inte negativ.
\sqrt{100}=10 \quad eftersom \, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \, och \,10\, är ett positivt tal.
\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad eftersom \,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \, och \,0{,}5\, är positiv.
\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad eftersom \,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \, och 1{,}4142 är positiv.
Ekvationen \,x^2=2\, har lösningarna \,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\, och \,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,.
\sqrt{-4}\quad är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal \,x\, som uppfyller \,x^2=-4\,.
\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad eftersom \, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom \sqrt{a} = a^{1/2} kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal a, b \ge 0:

\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72
\sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}
\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
\displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
\sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att \,a\, och \,b \ge 0\,. Om \,a\, och \,b\, är negativa (< 0) så är inte \,\sqrt{a}\, och \,\sqrt{b}\, definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att \sqrt{-1} inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

N:te rötter

Kubikroten ur ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger a, och betecknas \sqrt[\scriptstyle 3]{a}.

Exempel 3

\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad eftersom \; 2 \cdot 2 \cdot 2=8.
\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad eftersom \; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027.
\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad eftersom \; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8.

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som

om \,n\, är jämn och \,a\ge0\, är \,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\, det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv \,n\, gånger blir \,a\,,
om \,n\, är udda så är \,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\, det tal som multiplicerat med sig självt \,n\, gånger blir \,a\,.

Roten \,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\, kan även skrivas som \,a^{1/n}\,.

Exempel 4

\sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad eftersom \,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,.
\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad eftersom \,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243\,.
\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad är inte definierat eftersom \,6\, är jämn och \,-17\, är ett negativt tal.

För n:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om \,a, \, b \ge 0\,. Observera att om n är udda gäller de även för negativa \,a\, och \,b\,, dvs. för alla reella tal \,a\, och \,b\,.

\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}

Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

eftersom man då kan förenkla t.ex.

\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}

Exempel 5

\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}
\displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}
\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1

där vi använt konjugatregeln \,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\, med \,a=\sqrt{3}\, och \,b=\sqrt{2}\,.

Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med \sqrt{2} kan man exempelvis göra omskrivningen

\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, \,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}

Exempel 6

\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}
\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}

Råd för inläsning

Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: \sqrt{x}=x^{1/2}

Lästips

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?

Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.1_R%C3%B6tter

3.1 Rötter

Sommarmatte 1

Versionen från 6 maj 2007 kl. 13.00

Teori

Kvadratrötter

N:te rötter

Förenkling av rotuttryck

Rationella rotuttryck

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=3.1 Rötter=
 <div class="inforuta">
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Läromål:'''<br/>
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Skriva om ett rotuttryck i potensform
+*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
-*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal
+*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
-*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat
+*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
-*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten
+*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
-*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck
+*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
-*Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander
+*Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander.
-*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren
+*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
-*Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda)
+*Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda).
 </div>
 [[3.1 Övningar|Övningar]]
 ==Kvadratr&ouml;tter==
 [[Bild:761369.gif|right]]
-Symbolen  \sqrt{a}  , kvadratroten ur a, anv&auml;nds som bekant f&ouml;r att beteckna
+Symbolen $\,\sqrt{a}\,, kvadratroten ur \,a\,$, anv&auml;nds som bekant f&ouml;r att beteckna
 det tal som multiplicerat med sig sj&auml;lvt blir a.
 Man m&aring;ste dock vara lite mer exakt n&auml;r man definierar denna symbol.
-Ekvationen &nbsp; x^2 = 4 &nbsp; har tv&aring; l&ouml;sningar, x = 2 och x = -2, eftersom s&aring;v&auml;l  2\cdot 2 = 4 &nbsp; som &nbsp; (-2)\cdot(-2) = 4. Man skulle d&aring; kunna tro att  \sqrt{4}  kan vara vilket som helst av -2 och 2, dvs. \sqrt{4}= \pm 2, men \sqrt{4} betecknar <u> bara </u> det postiva talet 2. Vi har att
+Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har tv&aring; l&ouml;sningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom s&aring;v&auml;l $\,2\cdot 2 = 4\, som \,(-2)\cdot(-2) = 4\,. Man skulle d&aring; kunna tro att \,\sqrt{4}\, kan vara vilket som helst av \,-2\, och \,2\,, dvs. \,\sqrt{4}= \pm 2\,, men \,\sqrt{4}\,$ betecknar ''bara'' det positiva talet 2.
-:\sqrt{a} &nbsp; kvadratroten ur &nbsp; a &nbsp; betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig
-:självt blir &nbsp; a , dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen &nbsp; x^2 = a.
-:Kvadratroten ur &nbsp; a &nbsp; kan &auml;ven skrivas &nbsp;$ a^{1/2}.$
+<div class="regel">
+Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen \,x^2 = a\,$.
-Det &auml;r d&auml;rf&ouml;r fel att p&aring;st&aring; att $ \sqrt{4}= \pm 2$,
+Kvadratroten ur \,a\, kan &auml;ven skrivas \,a^{1/2}\,.
-men korrekt att s&auml;ga att ekvationen  x^2 = 4 &nbsp; har l&ouml;sningarna
+</div>
-$ x = \pm 2.  T.ex. gäller därmed att -\sqrt{4}=-2$ och inget annat.
+Det &auml;r d&auml;rf&ouml;r fel att p&aring;st&aring; att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$
+men korrekt att s&auml;ga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har l&ouml;sningarna
+$\,x = \pm 2\,$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 1'''
 <ol type="a">
-<li>\sqrt{0}=0 \quad eftersom $\; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \; och 0$ är inte negativ <br><br>
+<li>\sqrt{0}=0 \quad eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\, och \,0\,$ är inte negativ. <br><br>
-<li>\sqrt{100}=10 \quad eftersom $\; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \; och 10$ är ett positivt tal. <br><br>
+<li>\sqrt{100}=10 \quad eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \, och \,10\,$ är ett positivt tal. <br><br>
-<li>  \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad eftersom $\; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \; och 0{,}5$ är positiv <br><br>
+<li> \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \, och \,0{,}5\,$ är positiv. <br><br>
-<li>\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad eftersom $\; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \; och 1{,}4142$ är positiv <br><br>
+<li>\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \, och 1{,}4142$ är positiv. <br><br>
-<li>Ekvationen &nbsp; x^2=2 &nbsp; har lösningarna &nbsp; x=\sqrt{2}\approx 1,414 &nbsp; och &nbsp; x = -\sqrt{2} \approx -1,414<br><br>
+<li>Ekvationen $\,x^2=2\, har lösningarna \,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\, och \,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.<br><br>
-<li> \sqrt{-4} &nbsp; är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal x sådant att x^2=-4.<br><br>
+<li>$\sqrt{-4}\quad är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal \,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.<br><br>
-<li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \; eftersom \; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} =  \sqrt{49} =  \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7$.
+<li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad eftersom \, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} =  \sqrt{49} =  \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.
 </ol>
 </div>
 r&auml;kneregler. Eftersom &nbsp; \sqrt{a} = a^{1/2} &nbsp; kan vi &ouml;verf&ouml;ra
 potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
+$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$
-\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}
 P&aring; detta s&auml;tt kan vi f&aring; fram f&ouml;ljande r&auml;kneregler f&ouml;r kvadratr&ouml;tter,
 som g&auml;ller f&ouml;r alla reella tal  a, b \ge 0:
 <div class="regel">
-\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}
+$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$
 </div>
-<div class="regel">
-\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}
-</div>
-<div class="regel">
-a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}
-</div>
 (Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)
 </div>
-Observera att r&auml;knereglerna ovan f&ouml;ruts&auml;tter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$
+Observera att r&auml;knereglerna ovan f&ouml;ruts&auml;tter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$.
-Om a och b &auml;r negativa (< 0) s&aring; &auml;r inte  \sqrt{a} &nbsp; och &nbsp; \sqrt{b} &nbsp;
+Om $\,a\,$ och $\,b\,$ &auml;r negativa (< 0) s&aring; &auml;r inte $\,\sqrt{a}\,$  och $\,\sqrt{b}\,$
-definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva
+definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva
 -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1
 vilket allts&aring; g&ouml;r att r&auml;knereglerna ovan inte f&aring;r anv&auml;ndas.
-==N-te r&ouml;tter==
+==N:te r&ouml;tter==
-Kubikroten ut ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger a, och betecknas \sqrt[\scriptstyle 3]{a}.
+Kubikroten ur ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger a, och betecknas \sqrt[\scriptstyle 3]{a}.
 <div class="exempel">
 </div>
-Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
+Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
 Det går sedan att för postiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som
-* om n är jämn och a\ge0 är \sqrt[\scriptstyle n]{a} det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv n gånger blir a
+* om $\,n\, är jämn och \,a\ge0\, är \,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\, gånger blir \,a\,$,
-* om n är udda sä är \sqrt[\scriptstyle n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv n gånger blir a
+* om $\,n\,$ är udda så är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\, gånger blir \,a\,$.
-Roten \sqrt[\scriptstyle n]{a} kan även skrivas som a^{1/n}.
+Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\, kan även skrivas som \,a^{1/n}\,$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 4'''
 <ol type="a">
-<li> \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5 eftersom 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 <br><br>
+<li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad eftersom \,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$. <br><br>
-<li> \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3 eftersom (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)  \cdot (-3) = -243 <br><br>
+<li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad eftersom \,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)  \cdot (-3) = -243\,$. <br><br>
-<li>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17} är inte definierad eftersom 6 är jämn och -17 är ett negativt tal. $
+<li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\, är jämn och \,-17\,$ är ett negativt tal.
 </ol>
 </div>
-F&ouml;r n-te r&ouml;tter g&auml;ller samma r&auml;kneregler som f&ouml;r kvadratr&ouml;tter om $ a, \: b \ge 0$.
+F&ouml;r n:te r&ouml;tter g&auml;ller samma r&auml;kneregler som f&ouml;r kvadratr&ouml;tter om $\,a, \, b \ge 0\,$.
-OBS! om n &auml;r udda g&auml;ller de &auml;ven f&ouml;r negativa a och b, dvs. f&ouml;r all reella tal a, b.
+Observera att om n &auml;r udda g&auml;ller de &auml;ven f&ouml;r negativa $\,a\, och \,b\,$, dvs. f&ouml;r alla reella tal $\,a\, och \,b\,$.
 <div class="regel">
-$$\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}$$
+$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr  a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$
-</div>
-<div class="regel">
-$$\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}$$
-</div>
-<div class="regel">
-$$a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}$$
 </div>
 eftersom man d&aring; kan f&ouml;renkla t.ex.
-$$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
+$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$
 Genom att skriva rotuttryck i termer av "sm&aring;" r&ouml;tter kan man ocks&aring; addera r&ouml;tter av "samma
 sort", t.ex.
-\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}
+$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$
 <div class="exempel">
 '''Exempel 5'''
 <ol type="a">
-<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} =
+<li>\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3} <br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} =
+<li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2  \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} =
+<li>\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} =
+<li>\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}<br/>
-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}$ <br><br>
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$<br>
-<li>
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} =
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} =
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} =
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2^2  \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
-<li>$
-\sqrt{45} + \sqrt{20} =
-\sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} =
-\sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} =
-\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
-$<br><br>
-<li>
-{| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-|-
-| $\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} ||= || \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$
-|-
-| ||$= || \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}$
-|-
-| ||$= ||\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}$
-|-
-| ||$= || 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$
-|-
-| ||$= ||(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}$
-|-
-|  ||$= ||\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$
-|}
+<li>$\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3}  \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =
+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
+\sqrt[\scriptstyle3]{2}$ <br><br>
+<li>$(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$ <br>
+:där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\, med \,a=\sqrt{3}\, och \,b=\sqrt{2}\,$.
-<li>$
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3}  \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
-\sqrt[\scriptstyle3]{2}
-$ <br><br>
-<li>
-$\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =
-(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$ <br><br>
-$\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)$
 </ol>
 vilket oftast &auml;r att f&ouml;redra.
-I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln,  (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 , och f&ouml;rl&auml;nga
+I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och f&ouml;rl&auml;nga
-med n&auml;mnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. P&aring; s&aring; s&auml;tt f&ouml;rsvinner rottecknen fr&aring;n n&auml;mnaren, t.ex.
+med n&auml;mnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. P&aring; s&aring; s&auml;tt f&ouml;rsvinner rottecknen fr&aring;n n&auml;mnaren genom kvadreringen, t.ex.
-$$
+$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} $$
-$$=\displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } =
-\displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } =
-\sqrt{6} - \sqrt{3}
-$$
 <div class="exempel">
 '''Exempel 6'''
 <ol type="a">
-<li>$
+<li>\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15} <br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} =
+<li>\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}<br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} =
+<li>$\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} =  -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{15}}{5} =
+<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$<br>
-\sqrt{15}
+$\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$
-$ <br><br>
-<li>$
-\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} =
-\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
-$<br><br>
-<li>
-$
-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} =
-\displaystyle\frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} =
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2})^2-2^2} =
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} =
--\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
-$<br><br>
-<li>
-$(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}) =
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{18}} =
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}} =$ <br><br>
-:$ =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{6} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} -\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{6}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$
 </ol>
 '''Tänk på att:'''
-Kvadratroten ur ett tal alltid är icke-negativ (dvs positiv eller lika med noll)!
+Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!
 Rotlagarna  är egentligen specialfall av potenslagarna.
 '''Lästips'''
-för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
+För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
 [http://en.wikipedia.org/wiki/Root_(mathematics) Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]