2.3 Andragradsuttryck

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Kvadratkomplettering
Andragradsekvationer
Faktorisering
Parabler

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Kvadratkomplettera andragradsuttryck.
Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret.
Faktorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer.
Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttryck antar.
Skissera parabler genom kvadratkomplettering.

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som $$x^2+px+q=0$$ där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.

Enklare typer av andragradsekvationer kan vi lösa direkt genom rotutdragning.

Ekvationen $\,x^2=a\,$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $\,x=\sqrt{a}\,$ och $\,x=-\sqrt{a}\,$.

Exempel 1

$x^2 = 4 \quad$ har rötterna $\,x=\sqrt{4} = 2\,$ och $\,x=-\sqrt{4}= -2\,$.
$2x^2=18 \quad$ skrivs om till $\,x^2=9\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt9 = 3\,$ och $\,x=-\sqrt9 = -3\,$.
$3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $\,x^2=5\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt5 \approx 2{,}236\,$ och $\,x=-\sqrt5 \approx -2{,}236\,$.
$9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större än eller lika med noll).

Exempel 2

Lös ekvationen $\ (x-1)^2 = 16\,$.

Genom att betrakta $\,x-1\,$ som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
- $x-1 =\sqrt{16} = 4\,$ vilket ger att $\,x=1+4=5\,$,
- $x-1 = -\sqrt{16} = -4\,$ vilket ger att $\,x=1-4=-3\,$.
Lös ekvationen $\ 2(x+1)^2 -8=0\,$.

Flytta över termen $8$ till högerledet och dela båda led med $2$, $$(x+1)^2=4 \; \mbox{.}$$ Rotutdragning ger att:
- $x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1$
- $x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3$

För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering.

Om vi betraktar kvadreringsregeln $$x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$$ och subtraherar $a^2$ från båda led så får vi

Kvadratkomplettering: $$x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2$$

Exempel 3

Lös ekvationen $\ x^2 +2x -8=0\,$.

De två termerna $\,x^2+2x\,$ kvadratkompletteras (använd $\,a=1\,$ i formeln) $$\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,$$ där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som $$(x+1)^2 -9 = 0,$$ vilken vi löser med rotutdragning
- $x+1 =\sqrt{9} = 3\,$ och därmed $\,x=-1+3=2\,$,
- $x+1 =-\sqrt{9} = -3\,$ och därmed $\,x=-1-3=-4\,$.
Lös ekvationen $\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0\,$.

Dividera båda led med 2 $$x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}$$ Vänsterledet kvadratkompletteras (använd $a=-\frac{1}{2}$) $$\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1$$ och detta ger oss ekvationen $$\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\,\mbox{.}$$ Rotutdragning ger att
- $x-\frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\,$,
- $x-\frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}-1= -\frac{1}{2}\,$.

Tips:

Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om ekvationen blir uppfylld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För exempel 3a ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänster- och högerleden för VL respektive HL:

$x = 2\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{HL}\,$.

$x = -4$ medför att $\,\mbox{VL} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{HL}\,$.

I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppfylld i båda fallen.

Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen $$x^2+px+q=0$$ har lösningarna $$x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$ förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.

Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.

Exempel 4

Lös ekvationen $\ x^2-4x=0\,$.

I vänsterledet kan vi bryta ut ett $x$
$x(x-4)=0\,$.
Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
- $x =0,\quad$ eller
- $x-4=0\quad$ d.v.s. $\quad x=4\,$.

[redigera] Parabler

Funktionerna $$\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}$$ är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som $$y=ax^2+bx+c$$ där $a$, $b$ och $c$ är konstanter och där $a\ne0$.

Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel $\,y=x^2\,$ och $\,y=-x^2$.

Eftersom uttrycket $\,x^2\,$ är som minst när $\,x=0\,$ har parabeln $\,y=x^2\,$ ett minimum när $\,x=0\,$ och parabeln $\,y=-x^2\,$ ett maximum för $\,x=0\,$.

Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring $y$-axeln eftersom värdet på $\,x^2\,$ inte beror på vilket tecken $x$ har.

Exempel 5

Skissera parabeln $\ y=x^2-2\,$.

Jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ har punkter på parabeln ($\,y=x^2-2\,$) $y$-värden som är två enheter mindre, d.v.s. parabeln är förskjuten två enheter neråt i $y$-led.

Skissera parabeln $\ y=(x-2)^2\,$.

På parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ behöver vi välja $x$-värden två enheter större jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ för att få motsvarande $y$-värden. Alltså är parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ förskjuten två enheter åt höger jämfört med $\,y=x^2\,$.

Skissera parabeln $\,y=2x^2\,$.

Varje punkt på parabeln $\,y=2x^2\,$ har dubbelt så stort $y$-värde än vad motsvarande punkt med samma $x$-värde har på parabeln $\,y=x^2\,$. Parabeln $\,y=2x^2\,$ är expanderad med faktorn $2$ i $y$-led jämfört med $\,y=x^2\,$.

Med kvadratkomplettering kan vi behandla alla typer av parabler.

Exempel 6

Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.

Om högerledet kvadratkompletteras $$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$ så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.

Exempel 7

Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.

En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen $$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$

Vänsterledet kvadratkompletteras $$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$ och detta ger ekvationen $$(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}$$ Efter rotutdragning får vi lösningarna

$x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2+1=3\,$,
$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.

Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.

Exempel 8

Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.

Vi kvadratkompletterar $$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$ och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.

I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring

Läs mer om andragradsekvationer på engelska Wikipedia

Läs mer om andragradsekvationer i MathWorld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin

Länktips

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/2.3_Andragradsuttryck

2.3 Andragradsuttryck

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Andragradsekvationer

[redigera] Parabler

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=2.3 Andragradsuttryck=
 <div class="inforuta">
 *Andragradsekvationer
 *Faktorisering
+*Parabler
 </div>
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
 *Kvadratkomplettera andragradsuttryck.
 *Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret.
-*Fakorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
+*Faktorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
 *Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer.
 *Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttryck antar.
+*Skissera parabler genom kvadratkomplettering.
 </div>
-[[agjöeijö|Övningar]]
+[[2.3 Övningar|Övningar]]
 </td>
 ==Andragradsekvationer==
 En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som
-<div class="regel">
 $$x^2+px+q=0$$
-</div>
 där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.
-Enklare typer av andra gradsekvationer kan vi lösa direkt genom roturdragning.
+Enklare typer av andragradsekvationer kan vi lösa direkt genom rotutdragning.
 <div class="regel">
-Ekvationen $x^2=a$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $x=\sqrt{a}$ och $x=-\sqrt{a}$.
+Ekvationen $\,x^2=a\,$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $\,x=\sqrt{a}\,$ och $\,x=-\sqrt{a}\,$.
 </div>
 '''Exempel 1'''
-Exempeltext, använd nedanstående numrering
 <ol type="a">
-<li>$x^2 = 4 \quad$ har rötterna $x=\sqrt{4} = 2$ och $x=-\sqrt{4}= -2$ <br><br>
+<li>$x^2 = 4 \quad$ har rötterna $\,x=\sqrt{4} = 2\,$ och $\,x=-\sqrt{4}= -2\,$. <br><br>
-<li>$2x^2=18 \quad$ skrivs om till $x^2=9$ och har rötterna $x=\sqrt9 = 3$ och $x=-\sqrt9 = -3$.<br><br>
+<li>$2x^2=18 \quad$ skrivs om till $\,x^2=9\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt9 = 3\,$ och $\,x=-\sqrt9 = -3\,$.<br><br>
-<li>$3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $x^2=5$ och har rötterna $x=\sqrt5 \approx 2,236$ och $x=-\sqrt5 \approx -2,236$.<br><br>
+<li>$3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $\,x^2=5\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt5 \approx 2{,}236\,$ och $\,x=-\sqrt5 \approx -2{,}236\,$.<br><br>
-<li>$9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med $25$ oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större eller lika med noll).
+<li>$9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större än eller lika med noll).
 </ol>
 </div>
-En andragradsekvation &auml;r en ekvation d&auml;r variabeln f&ouml;rekommer endast upph&ouml;jd till 1 och upph&ouml;jd till 2, exempelvis
-$ x^2 - 4 = 0$
-$ 2x^2 + 7x - 4 = 0$
-etc. Ofta f&ouml;redrar man att skriva ekvationen p&aring; den s&aring; kallade normalformen
-$
-x^2 + px + q = 0,
-$
-d&auml;r p och q &auml;r konstanter. L&ouml;sningen till en andragradsekvation ges av den allm&auml;nna formeln
-$
-x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{p}{2}\right)^2-q}
-$ (*)
-I m&aring;nga fall &auml;r det dock f&ouml;rdelaktigt att l&ouml;sa en andragradsekvation med en annan metod &auml;n den allm&auml;nna formeln, t.ex. genom faktorisering. Det minskar risken f&ouml;r slarvfel.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
+'''Exempel 2'''
-<ol type="a">
-<li>$matte$ <br><br>
-<li>text
-</ol>
-</div
-L&ouml;s ekvationen
-$ x^2 - 4x = 0$
-'''L&ouml;sning:'''
-I v&auml;nsterledet kan vi bryta ut ett x. Vi f&aring;r
-$
-x^2 - 4x = x(x - 4) = 0.
-$
-Ekvationen &auml;r uppfylld n&auml;r produkten blir noll. Detta intr&auml;ffar n&auml;r n&aring;gon av faktorerna &auml;r noll, dvs d&aring;
-x = 0 eller (x - 4) = 0,
-vilket betyder
-x = 0 eller x = 4
-|}
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center" WIDTH="1000"
-|-
-|'''Tips:'''
-T&auml;nk p&aring; att man alltid kan pr&ouml;va l&ouml;sningar till en ekvation genom att s&auml;tta in v&auml;rdet och se om likheten blir uppfylld. Man g&ouml;r detta f&ouml;r att uppt&auml;cka eventuella slarvfel. F&ouml;r exemplet ovan har vi tv&aring; fall att pr&ouml;va. Vi kallar v&auml;nster- och h&ouml;gerleden f&ouml;r VL respektive HL:
-x = 0 medf&ouml;r
-$ \mbox{VL} = 0^2 - 4\cdot0 = 0 = \mbox{HL} $
-x = 4 medf&ouml;r
-$ \mbox{VL} = 4^2 - 4\cdot4 = 0 = \mbox{HL} $
-I b&aring;da fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen &auml;r allts&aring; uppfylld i b&aring;da fallen. x = 0 och x = 4 &auml;r l&ouml;sningar till ekvationen.
-|}
-<div class="exempel">
-'''Exempel 2'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$ <br><br>
+<li>Lös ekvationen $\ (x-1)^2 = 16\,$. <br><br>
-<li>text
+Genom att betrakta $\,x-1\,$ som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
+*$x-1 =\sqrt{16} = 4\,$ vilket ger att $\,x=1+4=5\,$,
+*$x-1 = -\sqrt{16} = -4\,$ vilket ger att $\,x=1-4=-3\,$. <br><br>
+<li>Lös ekvationen $\ 2(x+1)^2 -8=0\,$. <br><br>
+Flytta över termen $8$ till högerledet och dela båda led med $2$,
+$$(x+1)^2=4 \; \mbox{.}$$
+Rotutdragning ger att:
+*$x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1$
+*$x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3$  <br><br>
 </ol>
-</div
+</div>
-L&ouml;s ekvationen
-$
-x^2 - 3 = 0
-$
-'''L&ouml;sning:'''
-Flytta &ouml;ver konstanten till h&ouml;gerledet.
-$
+För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering.
-x^2 = 3
-$
-$
+Om vi betraktar kvadreringsregeln
-x = \pm \sqrt{3}
+$$x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$$
-$
+och subtraherar $a^2$ från båda led så får vi
-$
+<div class="regel">
-x = \sqrt{3} $ eller $ x = - \sqrt{3}
+'''Kvadratkomplettering:'''
-$
+$$x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2$$
+</div>
-|}
-==Kvadratkomplettering ==
-Med hj&auml;lp av kvadratkomplettering (se &auml;ven avsnitt 3.2) kan man anv&auml;nda tekniken i exempel 2 f&ouml;r alla andragradsekvationer.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 3'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$ <br><br>
+<li>Lös ekvationen $\ x^2 +2x -8=0\,$. <br><br>
-<li>text
+De två termerna $\,x^2+2x\,$ kvadratkompletteras (använd $\,a=1\,$ i formeln)
+$$\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,$$
+där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som
+$$(x+1)^2 -9 = 0,$$
+vilken vi löser med rotutdragning
+*$x+1 =\sqrt{9} = 3\,$ och därmed $\,x=-1+3=2\,$,
+*$x+1 =-\sqrt{9} = -3\,$ och därmed $\,x=-1-3=-4\,$. <br><br>
+<li>Lös ekvationen $\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0\,$. <br><br>
+Dividera båda led med 2
+$$x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}$$
+Vänsterledet kvadratkompletteras (använd $a=-\frac{1}{2}$)
+$$\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1$$
+och detta ger oss ekvationen
+$$\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\,\mbox{.}$$
+Rotutdragning ger att
+*$x-\frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\,$,
+*$x-\frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}-1= -\frac{1}{2}\,$.
 </ol>
-</div
+</div>
-L&ouml;s ekvationen
-$
-x^2 + 4x - 12 = 0
-$
-'''L&ouml;sning:'''
+<div class="tips">
-Vi vill anv&auml;nda tekniken i exempel 2, dvs n&aring;got i kvadrat skall bli en konstant. Det som tas i kvadrat m&aring;ste vara x + 2 f&ouml;r att termerna som inneh&aring;ller x skall st&auml;mma, men detta motsvarar inte exakt det som vi har i v&auml;nsterledet. Detta l&ouml;ser vi med kvadratkomplettering. Eftersom
+'''Tips:'''
-$
-(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
-$
-s&aring; kan vi konstatera att
+T&auml;nk p&aring; att man alltid kan pr&ouml;va l&ouml;sningar till en ekvation genom att s&auml;tta in v&auml;rdet och se om ekvationen blir uppfylld. Man g&ouml;r detta f&ouml;r att uppt&auml;cka eventuella slarvfel. F&ouml;r exempel 3a ovan har vi tv&aring; fall att pr&ouml;va. Vi kallar v&auml;nster- och h&ouml;gerleden f&ouml;r VL respektive HL:
-$
+* $x = 2\,$ medf&ouml;r att $\,\mbox{VL} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{HL}\,$.
-x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
-$
-Vi s&auml;tter in detta i den givna ekvationen
+* $x = -4$  medf&ouml;r att $\,\mbox{VL} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{HL}\,$.
-$
+I b&aring;da fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen &auml;r allts&aring; uppfylld i b&aring;da fallen.
-x^2 + 4x - 12 = 0
+</div>
-$
-$
+Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen
-(x + 2)^2 - 4 - 12 = 0
+$$x^2+px+q=0$$
-$
+har lösningarna
+$$x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$
-$
+förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.
-(x + 2)^2 - 16 = 0
-$
-$
-(x + 2)^2 = 16
-$
-$
-x + 2 = \pm 4
-$
-$
-x + 2 = 4 $ eller $ x + 2 = -4
-$
-$
-x = 4 - 2 = 2 $ eller $ x = -4 - 2 = -6
-$
-'''Svar:''' L&ouml;sningarna &auml;r x = 2 och x = -6.
-|}
-Kontrollera g&auml;rna svaret med den allm&auml;nna l&ouml;sningsformeln!
-Den procedur som genomf&ouml;rs i Exempel 3 kan ocks&aring; utf&ouml;ras p&aring; den allm&auml;nna ekvationen
-$ x^2 + px + q = 0$
-Det visar sig d&aring; att man efter kvadratkomplettering och rotutdragning f&aring;r den allm&auml;nna l&ouml;sningsformeln (*) ovan.
-Kvadratkomplettering g&ouml;r det ocks&aring; m&ouml;jligt att direkt se vilket som &auml;r det st&ouml;rsta eller minsta v&auml;rdet som ett andragradsuttryck kan anta.
-I Exempel 3 fann vi att
-$
-x^2 + 4x - 12 = (x + 2)^2 - 16
-$
-Termen $(x + 2)^2$ &auml;r en kvadrat, och kan allts&aring; inte vara negativ. Som minst &auml;r den noll. D&auml;rf&ouml;r &auml;r det minsta v&auml;rdet som uttrycket
-$
-x^2 + 4x - 12
-$
-kan anta -16, och detta v&auml;rde antas n&auml;r parentesen &auml;r noll, dvs f&ouml;r x = -2. Detta kommer att anv&auml;ndas i avsnitt 3.3.
-I Exempel 3 blev resultatet av kvadratkompletteringen
-$
-(x + 2)^2 - 16
-$
-Konstanttermens tecken (h&auml;r ” - ”) &auml;r viktigt. Den negativa konstanttermen i exemplet gjorde det m&ouml;jligt att l&ouml;sa motsvarande andragradsekvation med rotutdragning i b&auml;gge led av
-$
-(x + 2)^2 = 16
-$
-(Alternativt kan man faktorisera
-$
-(x + 2)^2 - 16
-$
-med konjugatregeln.) Om man ist&auml;llet f&aring;r en positiv konstantterm inneb&auml;r det att andragradsuttrycket saknar nollst&auml;llen, eftersom kvadraten inte kan bli negativ, och d&auml;rmed kan uttrycket inte bli noll. S&aring;dana uttryck kan inte faktoriseras (se avsnitt 2.5 om faktorisering). En positiv konstantterm motsvarar ett negativt uttryck under rottecknet i allm&auml;nna l&ouml;sningsformeln (*).
+Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 4'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$ <br><br>
+<li>Lös ekvationen $\ x^2-4x=0\,$. <br><br>
-<li>text
+I vänsterledet kan vi bryta ut ett $x$
+:$x(x-4)=0\,$.
+Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
+*$x =0,\quad$ eller
+*$x-4=0\quad$ d.v.s. $\quad x=4\,$.
 </ol>
-</div
+</div>
-L&ouml;s ekvationen
-$
+==Parabler==
-x^2 + 8x + 19 = 0
+Funktionerna
-$
+$$\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}$$
+är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som
+$$y=ax^2+bx+c$$
+där $a$, $b$ och $c$ är konstanter och där $a\ne0$.
-'''L&ouml;sning:'''
+Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel $\,y=x^2\,$ och $\,y=-x^2$.
-$
-x^2 + 8x + 19 =
-$
-$
+<center>[[Bild:t_3_1_1b.gif]]  [[Bild:t_3_1_2b.gif]]</center>
-(x + 4)^2 - 16 + 19 =
-$
-$
+Eftersom uttrycket $\,x^2\,$ är som minst när $\,x=0\,$ har parabeln $\,y=x^2\,$ ett minimum när $\,x=0\,$ och parabeln $\,y=-x^2\,$ ett maximum för $\,x=0\,$.
-(x + 4)^2 + 3
-$
-Detta kan inte bli noll. Kvadratens minsta v&auml;rde &auml;r noll, och d&aring; blir uttryckets v&auml;rde 3.
+Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring $y$-axeln eftersom värdet på $\,x^2\,$ inte beror på vilket tecken $x$ har.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 5'''
+[[Bild:t_3_1_3b.gif|right]]
-Från figuren nedan förstår vi varför, hela kurvan ligger ovanför x-axeln!<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/772636.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
+<ol type="a">
-'''Svar:''' Ekvationen saknar reella l&ouml;sningar.
+<li>Skissera parabeln $\ y=x^2-2\,$. <br><br>
+Jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ har punkter på parabeln ($\,y=x^2-2\,$) $y$-värden som är två enheter mindre, d.v.s. parabeln är förskjuten två enheter neråt i $y$-led. <br><br>
+</ol>
-|}
+<br><br><br><br><br><br><br>
-===Andragradskurvor:===
+[[Bild:t_3_1_4b.gif|right]]
-En andragradskurva kan beskrivas som de punkter $\;(x,y)\;$ som uppfyller en ekvation som är ett polynom d&auml;r den term som har h&ouml;gsta graden har grad 2.
+<ol type="a" start=2>
-Ett exempel skulle kunna vara
+<li>Skissera parabeln $\ y=(x-2)^2\,$. <br><br>
+På parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ behöver vi välja $x$-värden två enheter större jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ för att få motsvarande $y$-värden. Alltså är parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ förskjuten två enheter åt höger jämfört med $\,y=x^2\,$.<br><br>
+</ol>
+<br><br><br><br><br><br><br><br>
-$
-y=2x^2+3x+4.
-$
-Mer allmänt kan man skriva
-$ax^2+bx+c$
+[[Bild:766663.gif|right]]
+<ol type="a" start=3>
+<li>Skissera parabeln $\,y=2x^2\,$. <br><br>
+Varje punkt på parabeln $\,y=2x^2\,$ har dubbelt så stort $y$-värde än vad motsvarande punkt med samma $x$-värde har på parabeln $\,y=x^2\,$. Parabeln $\,y=2x^2\,$ är expanderad med faktorn $2$ i $y$-led jämfört med $\,y=x^2\,$.
+</ol>
+<br><br><br><br><br><br><br><br>
-Hur g&ouml;r man f&ouml;r att enklast kunna beskriva utseendet f&ouml;r en sådan andragradskurva?
-Rent generellt s&aring; har en andragradskurva enbart ett lokalt minimum eller maximum.
-Samtidigt kan den maximalt sk&auml;ra ''x''-axeln p&aring; tv&aring; st&auml;llen och ''y''-axeln p&aring;
-ett st&auml;lle.
+</div>
+Med kvadratkomplettering kan vi behandla alla typer av parabler.
-'''Hur skall man kunna hitta dessa punkter?'''
+<div class="exempel">
+'''Exempel 6'''
+[[Bild:t_3_1_5b.gif|right]]
+Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.
+<br>
+<br>
+Om högerledet kvadratkompletteras
+$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$
+så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
+<br><br><br><br><br><br>
-F&ouml;r enkelhetsskull s&aring; antar vi ovan att $a=1$, d.v.s.
+</div>
-$y=x^2+bx+c$ Vi vill kunna skriva formen f&ouml;r
-en andragradskruva som en j&auml;mn kvadrat plus en konstant. Efter kvadratkomplettering ser att vi kan skriva
-uttrycket som
+<div class="exempel">
+'''Exempel 7'''
+Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.
-$
+<br>
-y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2 +c-\displaystyle \frac{b^2}{4}.
+<br>
-$
+En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
+$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$
+[[Bild:t_3_1_6b.gif|right]]
+Vänsterledet kvadratkompletteras
+$$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$
+och detta ger ekvationen
+$$(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}$$
+Efter rotutdragning får vi lösningarna
+*$x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2+1=3\,$,
+*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.
+Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.
-Detta uttyck kan minimalt bli $ c- \displaystyle \frac{b^2}{4} $ eftersom kvadraten inte kan bli mindre &auml;n 0.
+<br><br>
-Vi ser allts&aring; att minpunkten blir
-$
-(x,y)=\left(-\displaystyle \frac{b}{2},c-\displaystyle \frac{b^2}{4}\right)
-$
-I motsvarande fall om $a=-1$ s&aring; f&aring;r vi att $\;y=-x^2+bx+c \;$ har maxpunkt i $(b/2,c+b^2/4)$.
-Sk&auml;rning med ''x''-axeln f&aring;s d&aring; ''y''=0 och det &auml;r inte s&auml;kert att det &auml;r
-uppfyllt dvs sambandet har ett minimiv&auml;rde som &auml;r st&ouml;rre &auml;n 0.
-Vi har nu en kurva med ekvation
-$
-y=ax^2+bx+c.
-$
-Efter kvadratkomplettering s&aring; inser vi att konstanten $a$ best&auml;mmer formen p&aring; kurvan medan
-$a,b \mbox{ och } c$ alla &auml;r med och best&auml;mmer positionen av minimi-/maximiv&auml;rdet hos kurvan.
-Eftersom en andragradskurva enbart har en maximi eller minimi-punkt s&aring; &auml;r det ganska enkelt att best&auml;mma formen
-hos kurvan. F&ouml;r enkelhetsskull antar vi nu att $b \mbox{ och } c = 0.$ Vi har allts&aring; ett samband
-$
-y=ax^2
-$
-Polariteten hos $a$ best&auml;mmer om kurvan har ett maxv&auml;rde eller minv&auml;rde dvs om den pekar
-upp&aring;t eller ned&aring;t. Vi ser att koefficienten $ a $ trycker ihop/drar ut kurvan $ y=x^2,$
-beroende p&aring; om $a<1$ eller om $ a>1$.
-<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/766663.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-Position i vertikalled (dvs i y-led) styrs av konstanten $c$. Vi l&aring;ter nu $a=1$
-och $b=0$ ovan. Vi ser att
-$ y=x^2+2 $ har minsta v&auml;rde 2 medan $ y=x^2 $ har minsta v&auml;rde 0.
-$ y=x^2$ kan allts&aring; enkelt ritas i ett koordinatsystem genom att f&ouml;orflytta
-$ y=x^2$ tv&aring; l&auml;ngdenheter i positiv ''y''-riktning.
-<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/766664.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-Position i horisontalled styrs av konstanten ''b''. L&aring;t nu ''a''=1 och ''c''=0 ovan. Vi har d&aring; kurvan
-$ y=x^2+bx$.
-Om vi kvadratkompletterar s&aring; f&aring;r vi att $ y=\left(x+\displaystyle \frac{b}{2}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2}{4} $
-Vi ser allts&aring; att $ y $ kan vara minimalt $ -\,\displaystyle \frac{b^2}{4} $ d&aring;
-$ x=-\,\displaystyle \frac{b}{2}$. Vi kan allts&aring; sammanfatta att koefficienten $b$
-gjorde att minpunkten flyttades fr&aring;n origo till punkten $ \left(-\,\displaystyle \frac{b}{2},-\,\displaystyle \frac{b^2}{4}\right) $
-<p  align="center"><img src="ppStdFiles2261/766668.gif"  hspace='0' vspace='0' /><br clear='all' />
-Vad som ocks&aring; kan vara av intresse &auml;r sk&auml;rningspunkter mellan en andragradskurva och ''x''-axeln.
-Vi har ovan noterat att det inte beh&ouml;ver vara s&aring; att en andragradskurva sk&auml;r ''x''-axeln.
-Det kan ocks&aring; vara att den tangerar ''x''-axeln eller att den sk&auml;r ''x''-axeln i tv&aring; punkter.
-Antag att vi har en andragradskurva $y=ax^2+bx+c$. Sk&auml;rningspunkter med ''x''-axeln
-f&aring;s genom att l&ouml;sa ekvationen $ y=0 $ dvs $ ax^2+bx+c = 0$.
-Observera att $y=0$ f&ouml;r alla punkter p&aring; ''x''-axeln.
+</div>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 5'''
+'''Exempel 8'''
-<ol type="a">
+[[Bild:t_3_1_7b.gif|right]]
-<li>$matte$ <br><br>
+Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.
-<li>text
+<br>
-</ol>
+<br>
+Vi kvadratkompletterar
+$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$
+och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.
-</div
+I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.
-Bestäm skärningspunkter med ''x''-axeln och $
-y=x^2-4x-5.
-$
-'''L&ouml;sning:'''
+<br><br>
+</div>
-$
-y=0 $ på x-axeln. Vi har alltså att lösa ekvationen $ x^2-4x-5=0.
-$
+[[2.3 Övningar|Övningar]]
-Kvadratkomplettering ger att:
-$
-x^2-4x-5 = (x-2)^2-4-5=(x-2)^2-3^2
-$={konjugatregeln}=
+<div class="inforuta">
-$
+'''Råd för inläsning'''
-(x-2-3)(x-2+3)=(x-5)(x+1) $ vilket är  0  då $ x=5 $ eller $ x=-1.
-$
+'''Grund- och slutprov'''
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
-'''Svar: '''
-$\left\{ \matrix {x_1=5 \cr x_2=-1 } \right.$
-|}
-<div class="inforuta">
-'''Råd för inläsning'''
 '''Tänk på att:'''
-Att ställa upp ekvationer är som att översätta från ett språk till ett annat. Denna jämförelse användes av Newton i hans ''Arithmetica Universalis''. Kanske kan den bidra till att öka förståelsen för de svårigheter som både studenter och lärare ställs inför, ibland.
 Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet.  När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.
 '''Länktips'''
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex1_ekvation/Ex1Applet_text.htm   Experimentera - När väger ekvationens led lika?]
-[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/AndragrEkv_traning/AndEkv.html   Träna på andragradsekvationer  och slå ditt personliga rekord.]
 </div>
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''