Exempel 1

1. $x^2 = 4 \quad$ har rötterna $\,x=\sqrt{4} = 2\,$ och $\,x=-\sqrt{4}= -2\,$.
   
   
2. $2x^2=18 \quad$ skrivs om till $\,x^2=9\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt9 = 3\,$ och $\,x=-\sqrt9 = -3\,$.
   
   
3. $3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $\,x^2=5\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt5 \approx 2{,}236\,$ och $\,x=-\sqrt5 \approx -2{,}236\,$.
   
   
4. $9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större än eller lika med noll).

Exempel 2

1. Lös ekvationen $\ (x-1)^2 = 16\,$.
   
   Genom att betrakta $\,x-1\,$ som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
   • $x-1 =\sqrt{16} = 4\,$ vilket ger att $\,x=1+4=5\,$,
   • $x-1 = -\sqrt{16} = -4\,$ vilket ger att $\,x=1-4=-3\,$.
     
     
2. Lös ekvationen $\ 2(x+1)^2 -8=0\,$.
   
   Flytta över termen $8$ till högerledet och dela båda led med $2$, $$(x+1)^2=4 \; \mbox{.}$$ Rotutdragning ger att:
   • $x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1$
   • $x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3$
     
     

Exempel 3

1. Lös ekvationen $\ x^2 +2x -8=0\,$.
   
   De två termerna $\,x^2+2x\,$ kvadratkompletteras (använd $\,a=1\,$ i formeln) $$\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,$$ där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som $$(x+1)^2 -9 = 0,$$ vilken vi löser med rotutdragning
   • $x+1 =\sqrt{9} = 3\,$ och därmed $\,x=-1+3=2\,$,
   • $x+1 =-\sqrt{9} = -3\,$ och därmed $\,x=-1-3=-4\,$.
     
     
2. Lös ekvationen $\ 2x^2 -2x - \frac{2}{3} = 0\,$.
   
   Dividera båda led med 2 $$x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}$$ Vänsterledet kvadratkompletteras (använd $a=-\frac{1}{2}$) $$\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1$$ och detta ger oss ekvationen $$\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\,\mbox{.}$$ Rotutdragning ger att
   • $x-\frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\,$,
   • $x-\frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}-1= -\frac{1}{2}\,$.

Exempel 4

1. Lös ekvationen $\ x^2-4x=0\,$.
   
   I vänsterledet kan vi bryta ut ett $x$

   $x(x-4)=0\,$.

   Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
   • $x =0,\quad$ eller
   • $x-4=0\quad$ d.v.s. $\quad x=4\,$.

Exempel 5

1. Skissera parabeln $\ y=x^2-2\,$.
   
   Jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ har punkter på parabeln $\,y=x^2-2\,$ $y$-värden som är två enheter mindre, d.v.s. parabeln är förskjuten två enheter neråt i $y$-led.
   
   

2. Skissera parabeln $\ y=(x-2)^2\,$.
   
   På parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ behöver vi välja $x$-värden två enheter större jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ för att få motsvarande $y$-värden. Alltså är parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ förskjuten två enheter åt höger jämfört med $\,y=x^2\,$.
   
   

3. Skissera parabeln $\,y=2x^2\,$.
   
   Varje punkt på parabeln $\,y=2x^2\,$ har dubbelt så stort $y$-värde än vad motsvarande punkt med samma $x$-värde har på parabeln $\,y=x^2\,$. Parabeln $\,y=2x^2\,$ är expanderad med faktorn $2$ i $y$-led jämfört med $\,y=x^2\,$.

Exempel 6

Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.

Om högerledet kvadratkompletteras $$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$ så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.

Exempel 7

Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.

En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen $$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$

Vänsterledet kvadratkompletteras $$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$ och detta ger ekvationen $$(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}$$ Efter rotutdragning får vi lösningarna

• $x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2+1=3\,$,
• $x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.

Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.

Exempel 8

Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.

Vi kvadratkompletterar $$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$ och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.

I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.