1.2 Bråkräkning
Sommarmatte 1
| Versionen från 26 april 2007 kl. 10.06 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 2 maj 2007 kl. 15.02 (redigera) (ogör) Tek (Diskussion | bidrag) (En del småförbättringar) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | __NOTOC__ | ||
| <table><tr><td width="600"> | <table><tr><td width="600"> | ||
| - | |||
| - | =1.2 Bråkräkning= | ||
| <div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
| Rad 10: | Rad 9: | ||
| <div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
| - | '''Läromål:''' | + | '''Lärandemål:''' |
| <br>Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | <br>Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
| *Beräkna uttryck som innehåller bråktal, de fyra räknesätten och parenteser. | *Beräkna uttryck som innehåller bråktal, de fyra räknesätten och parenteser. | ||
| - | *Förkorta bråk så långt som möjligt | + | *Förkorta bråk så långt som möjligt. |
| - | *Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN) | + | *Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN). |
| </div> | </div> | ||
| Rad 34: | Rad 33: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | 0{,}25=\displaystyle \frac{25}{100}=\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{8}=\displaystyle \frac{3}{12}=\displaystyle \frac{4}{16}\textrm{ et.c.} $$ | + | 0{,}25=\displaystyle \frac{25}{100}=\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{8}=\displaystyle \frac{3}{12}=\displaystyle \frac{4}{16}\textrm{ o.s.v.} $$ |
| Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller | Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller | ||
| Rad 126: | Rad 125: | ||
| '''Exempel 4''' | '''Exempel 4''' | ||
| <ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>Beräkna | + | <li>Beräkna $\displaystyle\ \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42}$.<br/><br/> |
| - | <br>$\displaystyle \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42}$ | + | Delar vi upp 60 och 42 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 42 genom att undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt |
| + | $$\left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\mbox{.}$$ | ||
| - | <br><br>Lösning: | + | Vi kan då skriva |
| + | $$\frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42} =\frac{1\cdot 7}{60\cdot 7}+\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} | ||
| + | =\frac{7}{420}+\displaystyle \frac{10}{420}=\frac{17}{420}$$ | ||
| + | </li> | ||
| - | <br>$\left.\matrix{60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 \\ | + | <li>Beräkna $\displaystyle\ \frac{2}{15}+\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{5}{18}$.<br/><br/> |
| - | 42 = 2\cdot 3 \cdot 7 }\right\}\Rightarrow | + | |
| - | \mbox{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420$ | + | |
| - | <br><br>vi kan då skriva | + | Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 15, 6 och 18 |
| + | $$\left.\eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\mbox{.}$$ | ||
| - | <br>$\displaystyle \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42} | + | Vi kan då skriva |
| - | =\displaystyle \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7}+\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} | + | $$\frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5}-\frac{5\cdot 5}{18\cdot 5}=\frac{12}{90}+\frac{15}{90}-\frac{25}{90}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$$ |
| - | =\displaystyle \frac{7}{420}+\displaystyle \frac{10}{420} | + | </li> |
| - | =\displaystyle \frac{17}{420}$ | + | |
| - | <br><br> | + | |
| - | <li>Beräkna | + | |
| - | <br>$ \displaystyle \frac{2}{15}+\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{5}{18} | + | |
| - | $ | + | |
| - | + | ||
| - | <br><br>Lösning: | + | |
| - | + | ||
| - | <br>$\left.\matrix{15 = 3\cdot 5 \\ | + | |
| - | 6 = 2\cdot 3 \\ | + | |
| - | 18 = 2\cdot 3\cdot 3}\right\}\Rightarrow \mbox{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90$ | + | |
| - | + | ||
| - | <br><br>vi kan då skriva | + | |
| - | + | ||
| - | <br>$\displaystyle \frac{2}{15}+\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{5}{18} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3}+\displaystyle \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5}-\displaystyle \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5}$ | + | |
| - | + | ||
| - | <br><br>$=\displaystyle \frac{12}{90}+\displaystyle \frac{15}{90}-\displaystyle \frac{25}{90} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{2}{90}=\displaystyle \frac{1}{45}$ | + | |
| </ol> | </ol> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | |||
| - | <!-- xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx --> | ||
| ==Multiplikation== | ==Multiplikation== | ||
| Rad 208: | Rad 189: | ||
| '''Exempel 7''' | '''Exempel 7''' | ||
| <ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>$\displaystyle \frac{7}{10}\cdot \displaystyle \frac{2}{7}= \displaystyle \frac{\not{7}}{10}\cdot \displaystyle \frac{2}{\not{7}} = \displaystyle \frac{1}{10}\cdot \displaystyle \frac{2}{1} = \displaystyle \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \displaystyle \frac{\not{2}}{1}= \displaystyle \frac{1}{5}\cdot \displaystyle \frac{1}{1} =\displaystyle \frac{1}{5}$<br><br> | + | <li>$\displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7}= \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1}= \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}$</li> |
| - | + | ||
| - | <li>$\displaystyle \frac{14}{15}\cdot \displaystyle \frac{20}{21} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \displaystyle \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \displaystyle \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \displaystyle \frac{4 \cdot \not{5}}{3} | + | |
| - | = \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{4}{3} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} | + | |
| - | =\displaystyle \frac{8}{9}$ | + | |
| - | </ol><br> | + | |
| - | + | ||
| - | b ovan kan även skrivas: | + | |
| - | <ol type="a" start=2> | + | <li>$\displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21} |
| - | <li>$\displaystyle \frac{14}{15}\cdot \displaystyle \frac{20}{21} | + | =\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} |
| - | =\displaystyle \frac{14\cdot 20}{15\cdot 21} | + | =\frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} |
| - | =\displaystyle \frac{^2\not{14}\cdot \; ^4\not{20}}{^3\not{15}\cdot \; ^3\not{21}} | + | =\frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3} |
| - | =\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} | + | = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3} |
| - | =\displaystyle \frac{8}{9} | + | =\frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} |
| - | $ | + | =\frac{8}{9}$</li> |
| </ol> | </ol> | ||
| </div> | </div> | ||
Versionen från 2 maj 2007 kl. 15.02
|
Innehåll:
Lärandemål:
|
|
TeoriFörlängning och förkortningEtt rationellt tal kan skrivas på många sätt, beroende på vilken nämnare man väljer att använda. Exempelvis har vi att $$ 0{,}25=\displaystyle \frac{25}{100}=\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{8}=\displaystyle \frac{3}{12}=\displaystyle \frac{4}{16}\textrm{ o.s.v.} $$ Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller dividerar täljare och nämnare med samma tal. Dessa operationer kallas förlängning respektive förkortning. Exempel 1 Förlängning:
Förkortning:
Man bör alltid ange ett bråk förkortat så långt som möjligt. Detta kan vara arbetsamt när stora tal är inblandade, varför man redan under en pågående uträkning bör försöka hålla bråk i så förkortad form som möjligt. Addition och subtraktion av bråkVid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare. Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles. Exempel 2
Det viktiga är här att åstadkomma en gemensam nämnare, men man bör sträva efter att hitta en så låg gemensam nämnare som möjligt. Idealet är att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN). Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade nämnarna med varandra. Detta är dock inte alltid nödvändigt.
Exempel 3
Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om nämnarna är av rimlig storlek. Att allmänt bestämma den minsta gemensamma nämnaren kräver att man studerar vilka primtal som ingår som faktorer i respektive nämnare. Exempel 4
MultiplikationNär ett bråk multipliceras med ett heltal, multipliceras endast täljaren med heltalet. Det är uppenbart att om t.ex. $ \displaystyle \frac{1}{3} $ multipliceras med 2 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{2}{3}$, dvs. $$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2=\displaystyle \frac{1\cdot 2}{3}=\displaystyle \frac{2}{3}$$ Om två bråk multipliceras med varandra, multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Exempel 5
Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är möjligt att förkorta bråket. Detta utförs genom att stryka eventuella gemensamma faktorer i täljare och nämnare.
Exempel 6 Jämför uträkningarna:
Att stryka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med 3 i ett tidigare skede. Exempel 7
Råd för inläsning Tänk på att: Sträva alltid efter att skriva ett uttryck i enklast möjliga form. Vad som är "enklast" beror dock oftast på sammanhanget. Det är viktigt att du verkligen behärskar bråkräkning. Att du kan hitta en gemensam nämnare, förkorta och förlänga etc. Principerna är nämligen grundläggande när man ska räkna med rationella uttryck som innehåller variabler och för att du ska kunna hantera andra matematiska uttryck och operationer. Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata. Lästips för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia Länktips Experimentera interaktivt med bråk Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk.
|
