3.1 Rötter

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 7 maj 2007 kl. 14.01

Innehåll:

Kvadratrot och n:te rot
Rotlagar

Läromål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Skriva om ett rotuttryck i potensform.
Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander.
Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda).

Övningar

Teori

Kvadratrötter

Symbolen $\,\sqrt{a}\,$, kvadratroten ur $\,a\,$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har två lösningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom såväl $\,2\cdot 2 = 4\,$ som $\,(-2)\cdot(-2) = 4\,$. Man skulle då kunna tro att $\,\sqrt{4}\,$ kan vara vilket som helst av $\,-2\,$ och $\,2\,$, dvs. $\,\sqrt{4}= \pm 2\,$, men $\,\sqrt{4}\,$ betecknar bara det positiva talet $2$.

Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\,$ dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $\,x^2 = a\,$.

Kvadratroten ur $\,a\,$ kan även skrivas $\,a^{1/2}\,$.

Det är därför fel att påstå att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$ men korrekt att säga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har lösningarna $\,x = \pm 2\,$.

Exempel 1

$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\,$ och $\,0\,$ är inte negativ.
$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \,$ och $\,10\,$ är ett positivt tal.
$\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \,$ och $\,0{,}5\,$ är positiv.
$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \,$ och $1{,}4142$ är positiv.
Ekvationen $\,x^2=2\,$ har lösningarna $\,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,$ och $\,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.
$\sqrt{-4}\quad$ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $\,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.
$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad$ eftersom $\, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom $ \sqrt{a} = a^{1/2} $ kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att $$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$ På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$

$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

$\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$
$ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$
$ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$
$ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$
$ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$. Om $\,a\,$ och $\,b\,$ är negativa (< 0) så är inte $\,\sqrt{a}\,$ och $\,\sqrt{b}\,$ definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att $ \sqrt{-1} $ inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

N:te rötter

Kubikroten ur ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.

Exempel 3

$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$.
$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$.
$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som

om $\,n\,$ är jämn och $\,a\ge0\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$,
om $\,n\,$ är udda så är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$.

Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ kan även skrivas som $\,a^{1/n}\,$.

Exempel 4

$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad$ eftersom $\,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$.
$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad$ eftersom $\,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243\,$.
$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\,$ är jämn och $\,-17\,$ är ett negativt tal.

För $n$:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $\,a, \, b \ge 0\,$. Observera att om $n$ är udda gäller de även för negativa $\,a\,$ och $\,b\,$, dvs. för alla reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$.

$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$

Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

eftersom man då kan förenkla t.ex.

$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Exempel 5

$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$
$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$
$\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
$\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}$
$(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$

där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$ med $\,a=\sqrt{3}\,$ och $\,b=\sqrt{2}\,$.

Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med $ \sqrt{2} $ kan man exempelvis göra omskrivningen

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$

Exempel 6

$\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$
$\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
$\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$
$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$
$\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$

Övningar

Råd för inläsning

Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$

Lästips

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?

Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?