Exempel 1

Hur hög är flaggstången?

Bild: figur 3.3.2

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med $x$ nedan).

Bild: figur 3.3.3

Från definitionen av tangens har vi att $$\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}$$

och eftersom $\tan 40^\circ \approx 0{,}84$ så är $$x= 5\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2 \mbox{m} \; \mbox{.}$$

Exempel 2

Bestäm längden av sidan markerad med $x$ i figuren.

Bild: figur 3.3.4

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $u$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\tan u$.

Bild: 3.3.5 (vänstermarignal) $\tan u = \displaystyle \frac{22}{40}$

Bild: 3.3.6 (vänstermarginal)

$\tan u = \displaystyle \frac{x}{60}$

Sätter vi de två uttrycken för $\tan u$ lika fås $$\frac{22}{40} = \frac{x}{60}$$

vilket ger att $x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33$.

Exempel 3

Bild: figur 3.3.8 (vänstermarginal)

1. I triangel till vänster är $$\cos u = \frac{4}{5}$$ $$\sin u = \frac{3}{5}$$

Bild: figur 3.3.9 (vänstermarginal)

2. Definitionen av sinus ger att $$\sin 38^\circ = \frac{x}{5}$$ och vet vi att $\sin 38^\circ \approx 0{,}616$ så får vi att $$x=5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1 \; \mbox{.}$$

Bild: figur 3.3.10 (vänstermarginal)

3. Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan $$\cos 34^\circ = \frac{3}{x}$$ Alltså är $$x=\frac{3}{\cos 34^\circ} \; \mbox{.}$$

Exempel 4

Bestäm $\sin u$ i triangeln Bild: figur 3.3.11

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

Bild: figur 3.3.12 (vänster)

$1^2= \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 + x^2 \Leftrightarrow x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

och därför är $\sin u = \displaystyle \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Exempel 5

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd $1$. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatt hörn i två lika delar $45^\circ$.

Bild: figur 3.3.13

Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd $x$, $$x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\; \mbox{.}$$

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln $45^\circ$.

Bild: 3.3.14 (vänstermarginal)

$\cos 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{1}= 1$

Exempel 6

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längden $1$. Vinklarna i triangeln är alla $60^\circ$. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.

Bild: figurer 3.3.15 och 3.3.16

Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $x=\sqrt{3}/2$ (se figur). Från en triangelhalva får vi att

Bild: figur 3.3.17 (vänstermarginal)

$\cos 30^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}\, ; \quad \cos 60^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}} =\displaystyle{\frac{1}{2}}$

$\sin 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\, ; \quad \sin 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}} =\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\tan 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}} =\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}\, ; \quad \tan 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}}=\sqrt{3}$

Exempel 7

Från figurerna nedan avläser vi värdena på $\cos$ och $\sin$.

Bild: figur 3.3.19 (vänstermarginal)

1. $\cos 104^\circ \approx -0{,}24$
   
   $\sin 104^\circ \approx 0{,}97$
   
   $\tan 104^\circ \approx \displaystyle \frac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0$
   
   

Bild: figur 3.3.20 (vänstermarginal)

2. $\cos 201^\circ \approx -0{,}93$
   
   $\sin 201^\circ \approx -0{,}36$
   
   $\tan 201^\circ \approx \displaystyle \frac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4$

Exempel 8

1. $\cos 209^\circ$
   
   Eftersom vinkeln $209^\circ$ kan skrivas som $209^\circ = 180^\circ + 29^\circ$ så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ $x$-koordinat, vilket betyder att $\cos 209^\circ$ är negativ.
   Bild: 3.3.21
   
   
2. $\sin 133^\circ$
   
   Vinkeln $133^\circ$ är lika med $90^\circ + 34^\circ$ och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv $y$-koordinat och därför är $\sin 133^\circ$ postiv.
   Bild: 3.3.22
   
   
3. $\tan (-40^\circ)$
   
   Ritas vinkeln $-40^\circ$ in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, d.v.s. $\tan (-40^\circ)$ är negativ.
   Bild: 3.3.23
   
   

Exempel 9

Bestäm $\sin \displaystyle \frac{2\pi}{3}$.

Omskrivningen $$\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$$

visar att vinkeln $2\pi/3$ hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln $\pi/6$ med den postiva $y$-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att $2\pi/3$-punkten på enhetscirkeln har en $y$-koordinat som är lika med den närliggande kateten $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Alltså är $$\sin \displaystyle \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \; \mbox{.}$$

Bild: 3.3.24

Exempel 10

Hur många lösningar har ekvationen $\cos x = x^2$?
(där x mäts i radianer)

Genom att rita upp graferna $y=\cos x$ och $y=x^2$ ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två $x$-värden för vilka motsvarande $y$-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.

Bild: 3.3.25