4.2 Trigonometriska funktioner

Sommarmatte 1

Version från den 24 april 2007 kl. 13.52; Lina (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Innehåll

4.2 Trigonometriska funktioner

Innehåll:

  • De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens


Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln
  • Kunna utantill värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna $ 0 $, $\pi/6$ , $\pi/4$ , $\pi/3$ och $\pi/2$
  • Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna med periodicitet
  • Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens

Övningar

Teori

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten $a$ och den närliggande kateten $b$ för tangens av vinkeln $u$ och betecknas $\tan u$.

Bild: figur 3.3.1 $\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}$

Värdet på kvoten $\frac{a}{b}$ är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln $u$. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarandet tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).


Exempel 1

Hur hög är flaggstången?

Bild: figur 3.3.2

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med $x$ nedan).

Bild: figur 3.3.3

Från definitionen av tangens har vi att $$\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}$$

och eftersom $\tan 40^\circ \approx 0{,}84$ så är $$x= 5\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2 \mbox{m} \; \mbox{.}$$

Exempel 2

Bestäm längden av sidan markerad med $x$ i figuren.

Bild: figur 3.3.4

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $u$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\tan u$.

Bild: 3.3.5 (vänstermarignal) $\tan u = \displaystyle \frac{22}{40}$

Bild: 3.3.6 (vänstermarginal)

$\tan u = \displaystyle \frac{x}{60}$

Sätter vi de två uttrycken för $\tan u$ lika fås $$\frac{22}{40} = \frac{x}{60}$$

vilket ger att $x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33$.

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är $\cos u = b/c$ ("cosinus av $u$") och $\sin u = a/c$ ("sinus av $u$").

Bild: figur 3.3.7 (vänstermarginal)

$\cos u = \displaystyle \frac{b}{c}$

$\sin u = \displaystyle \frac{a}{c}$

Precis som för tangens är kvoterna som definerar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln $u$.

Exempel 3

Bild: figur 3.3.8 (vänstermarginal)

  1. I triangel till vänster är $$\cos u = \frac{4}{5}$$ $$\sin u = \frac{3}{5}$$

Bild: figur 3.3.9 (vänstermarginal)

  1. Definitionen av sinus ger att $$\sin 38^\circ = \frac{x}{5}$$ och vet vi att $\sin 38^\circ \approx 0{,}616$ så får vi att $$x=5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1 \; \mbox{.}$$

Bild: figur 3.3.10 (vänstermarginal)

  1. Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan $$\cos 34^\circ = \frac{3}{x}$$ Alltså är $$x=\frac{3}{\cos 34^\circ} \; \mbox{.}$$

Exempel 4

Bestäm $\sin u$ i triangeln Bild: figur 3.3.11

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

Bild: figur 3.3.12 (vänster)

$1^2= \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 + x^2 \Leftrightarrow x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

och därför är $\sin u = \displaystyle \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Några standardvinklar

För vissa vinklar $30^\circ$, $45^\circ$ och $60^\circ$ går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

Exempel 5

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd $1$. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatt hörn i två lika delar $45^\circ$.

Bild: figur 3.3.13

Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd $x$, $$x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\; \mbox{.}$$

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln $45^\circ$.

Bild: 3.3.14 (vänstermarginal)

$\cos 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{1}= 1$

Exempel 6

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längden $1$. Vinklarna i triangeln är alla $60^\circ$. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.

Bild: figurer 3.3.15 och 3.3.16

Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $x=\sqrt{3}/2$ (se figur). Från en triangelhalva får vi att

Bild: figur 3.3.17 (vänstermarginal)

$\cos 30^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}; \quad \cos 60^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}} =\displaystyle{\frac{1}{2}}$

$\sin 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}; \quad \sin 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}} =\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\tan 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}} =\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}; \quad \tan 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}}{1/2}=\sqrt{3} $



$\sin\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\cos\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ $\tan\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)=\sqrt{3}$
-->

<img src="ppStdFiles2261/766677.gif" hspace='0' vspace='0' />


Man kan ha stor nytta av att känna till de exakta värdena på cosinus och sinus för några standardvinklar. Dessa vinklar dyker ofta upp i geometriska tillämpningar, och cosinus och sinus för vinklarna kan beräknas med hjälp av enhetscirkeln och några enkla trianglar. Följande vinklar är mycket viktiga:

<STYLE type="text/css"> ol.lower-alpha {list-style-type:lower-alpha} </STYLE>

  1. $0^\circ = 0$ rad. Med hjälp av enhetscirkeln ser man att $\cos (0) = 1$ och $\sin (0) = 0$.
  2. $90^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{2} $. Enhetscirkeln ger $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 0$ och $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
  3. $45^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{4} $. Vi har en likbent, rätvinklig triangel där hypotenusan (radien i enhetscirkeln) har längden 1. Om vi sätter $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = a$ och använder Pythagoras sats får vi $a^2 + a^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 = \displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \pm \displaystyle\frac{1} {\sqrt{2}}$. Eftersom a är en sidlängd kräver vi $a > 0$ och får $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$. Anmärkning: Det approximativa värdet kan också vara bra att känna till, t.ex. om man behöver rita det i en figur.
  4. $60^\circ = \displaystyle\frac{ \pi}{3}$. Vi kan bilda en liksidig triangel med sidlängden 1. Symmetrin ger $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}$. Pythagoras sats på halva triangeln med $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = b$ ger $b^2 +(1/2)^2 = 1 \Leftrightarrow b^2 = \displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow b = \pm \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$, dvs $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$.
  5. $30^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{6}$. Samma resonemang som för $\displaystyle\frac{\pi}{3}$ ger $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ och $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}$

Även cosinus och sinus för vinklar utanför första kvadranten kan beräknas med liknande trianglar, men då kan sinus eller cosinus vara negativa. Man kan t.ex. beräkna $\cos \left(\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\right)$ med hjälp av en triangel lik den för $\displaystyle\frac{\pi}{4}$. Man får då $\cos \left(\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\right) = – a$, där $a$ är katetens längd på samma sätt som ovan. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/805365.gif" hspace='0' vspace='0' />

Sammanfattning

Cosinus och sinus för $\displaystyle\frac{\pi}{4}$,$\displaystyle\frac{ \pi}{3}$ och $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ kan sammanfattas med hjälp av två viktiga trianglar.


<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766676.gif" hspace='0' vspace='0' />


Ur dessa trianglar kan man få de exakta trigonometriska värdena för några vanliga vinklar:


<td valign="top">


</td>

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.2_Trigonometriska_funktioner
Personliga verktyg