Exempel 1

1. $x^2 = 4 \quad$ har rötterna $x=\sqrt{4} = 2$ och $x=-\sqrt{4}= -2$
   
   
2. $2x^2=18 \quad$ skrivs om till $x^2=9$ och har rötterna $x=\sqrt9 = 3$ och $x=-\sqrt9 = -3$.
   
   
3. $3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $x^2=5$ och har rötterna $x=\sqrt5 \approx 2,236$ och $x=-\sqrt5 \approx -2,236$.
   
   
4. $9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med $25$ oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större eller lika med noll).

Exempel 2

1. Lös ekvationen $(x-1)^2 = 16$.
   
   Genom att betrakta $x-1$ som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
   • $x-1 =\sqrt{16} = 4$ vilket ger att $x=1+4=5$
   • $x-1 = -\sqrt{16} = -4$ vilket ger att $x=1-4=-3$
     
     
2. Lös ekvationen $2(x+1)^2 -8=0$.
   
   Flytta över termen $8$ till högerledet och dela båda led med $2$, $$(x+1)^2=4 \; \mbox{.}$$ Rotutdragning ger att:
   • $x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1$
   • $x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3$
     
     

Exempel 3

1. Lös ekvationen $x^2 +2x -8=0$.
   
   De två termerna $x^2+2x$ kvadratkompletteras (använd $a=1$ i formeln) $$\underline{x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9$$ där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som $$(x+1)^2 -9 = 0$$ vilken vi löser med rotutdragning
   • $x+1 =\sqrt{9} = 3$ och därmed $x=-1+3=2$
   • $x+1 =\sqrt{9} = 3$ och därmed $x=-1-3=-4$
     
     
2. Lös ekvationen $2x^2 -2x - \displaystyle \frac{2}{3} = 0$.
   
   Dividera båda led med 2 $$x^2-x-\frac{3}{4}$$ Vänsterledet kvadratkompletteras (använd $a=\frac{1}{2}$) $$\underline{x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} -\frac{3}{4}= \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 -1$$ och detta ger oss ekvationen $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - 1=0 \; \mbox{.}$$ Rotutdragning ger att:
   • $x-\displaystyle \frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}+1=\displaystyle \frac{3}{2}$
   • $x-\displaystyle \frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=\displaystyle \frac{1}{2}-1= -\displaystyle \frac{1}{2}$

Exempel 4

Exempeltext, använd nedanstående numrering

1. Lös ekvationen $x^2-4x=0$.
   
   I vänsterledet kan vi bryta ut ett $x$ $$x(x-4)=0$$ Ekvationens vänsterled blir noll, vilket ger oss två lösningar
   • $x =0, \; \mbox{eller}$
   • $x-4=0 \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=4\; \mbox{.}$

Exempel 5

1. Skissera parabeln $y=x^2-2$
   
   Jämfört med parabeln $y=x^2$ har punkter på parabeln $y=x^2-2$ $y$-värden som är två enheter mindre d.v.s. parabeln är förskjuten $2$ enheter neråt i $y$-led.
   
   Bild: figur 3.1.3b
   
   
2. Skissera parabeln $y=(x-2)^2$
   
   På parabeln $y=x-2)^2$ behöver vi välja $x$-värden två enheter större jämfört med parabeln $y=x^2$ för att få motsvarande $y$-värden. Alltså är parabeln $y=(x-2)^2$ förskjuten två enheter åt höger jämfört med $y=x^2$.
   
   Bild: figur 3.1.4b
   
   
3. Skissera parabeln $y=2x^2$
   
   Varje punkt på parabeln $y=2x^2$ har dubbelt så stort $y$-värde än vad motsvarande punkt med samma $x$-värde har på parabeln $y=x^2$. Parabeln $y=2x^2$ är expanderad med faktorn $2$ i $y$-led jämfört med $y=x^2$.

Exempel 6

Skissera parabeln $y=x^2+2x+2$.

Om högerledet kvadratkompletteras $$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$ så ser vi från det resulterande uttrycket $y= (x+1)^2+1$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $y=x^2$ (eftersom det står $(x+1)^2$ istället för $x^2$) och en enhet uppåt i $y$-led.

Bild: figur 3.1.5b

Exempel 7

Bestäm var parabeln $y=x^2-4x+3$ skär $x$-axeln.

En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen $$x^2-4x+3$$ Vänsterledet kvadratkompletteras $$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$ och detta ger ekvationen $$(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}$$ Efter rotutdragning får vi lösningarna:

• $x-2 =\sqrt{1} = 1, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=2+1=3$
• $x-2 = -\sqrt{1} = -1, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=2-1=1$

Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $(1,0)$ och $(3,0)$.

Bild: figur 3.1.6b

Exempel 8

Bestäm det minsta värdet som uttrycket $x^2+18x+19$ antar

Vi kvadratkompletterar $$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$ och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med $3$ eftersom kvadraten $(x+4)^2$ alltid är större eller lika med $0$ oavsett vad $x$ är.

I figuren till höger ser vi att hela parabeln $y=x^2+8x+19$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde $3$ när $x=4$.

Bild: figur 3.1.7b