4.2 Trigonometriska funktioner
Sommarmatte 1
4.2 Trigonometriska funktionerInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|||
TeoriTrigonometri i rätvinkliga trianglarI den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten a och den närliggande kateten b för tangens av vinkeln u och betecknas \tan u. Bild: figur 3.3.1 \tan u = \displaystyle \frac{a}{b} Värdet på kvoten \frac{a}{b} är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln u. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarandet tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).
Exempel 1 Hur hög är flaggstången? Bild: figur 3.3.2 Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med x nedan). Bild: figur 3.3.3 Från definitionen av tangens har vi att \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}
och eftersom \tan 40^\circ \approx 0{,}84 så är x= 5\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2 \mbox{m} \; \mbox{.}
Exempel 2 Bestäm längden av sidan markerad med x i figuren. Bild: figur 3.3.4 Om vi kallar vinkeln längst till vänster för u så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för \tan u. Bild: 3.3.5 (vänstermarignal) \tan u = \displaystyle \frac{22}{40} Bild: 3.3.6 (vänstermarginal) \tan u = \displaystyle \frac{x}{60} Sätter vi de två uttrycken för \tan u lika fås \frac{22}{40} = \frac{x}{60}
vilket ger att x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33. Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är \cos u = b/c ("cosinus av u") och \sin u = a/c ("sinus av u"). Bild: figur 3.3.7 (vänstermarginal) \cos u = \displaystyle \frac{b}{c} \sin u = \displaystyle \frac{a}{c} Precis som för tangens är kvoterna som definerar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln u. Exempel 3 Bild: figur 3.3.8 (vänstermarginal)
Bild: figur 3.3.9 (vänstermarginal)
Bild: figur 3.3.10 (vänstermarginal)
Exempel 4 Bestäm \sin u i triangeln Bild: figur 3.3.11 Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas Bild: figur 3.3.12 (vänster) 1^2= \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 + x^2 \Leftrightarrow x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} och därför är \sin u = \displaystyle \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}. Några standardvinklarFör vissa vinklar 30^\circ, 45^\circ och 60^\circ går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna. Exempel 5 Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatt hörn i två lika delar 45^\circ. Bild: figur 3.3.13 Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd x, x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\; \mbox{.}
I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln 45^\circ. Bild: 3.3.14 (vänstermarginal) \cos 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \tan 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{1}= 1 Exempel 6 Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längden 1. Vinklarna i triangeln är alla 60^\circ. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu. Bild: figurer 3.3.15 och 3.3.16 Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är x=\sqrt{3}/2 (se figur). Från en triangelhalva får vi att Bild: figur 3.3.17 (vänstermarginal) \cos 30^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}; \quad \cos 60^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}} =\displaystyle{\frac{1}{2}} \sin 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}; \quad \sin 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}} =\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}} =\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}; \quad \tan 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}}{1/2}=\sqrt{3}
| \sin\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} | \cos\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)=\displaystyle{\frac{1}{2}} | \tan\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)=\sqrt{3} |
<img src="ppStdFiles2261/766677.gif" hspace='0' vspace='0' />
Man kan ha stor nytta av att känna till de exakta värdena på cosinus och sinus för några standardvinklar. Dessa vinklar dyker ofta upp i geometriska tillämpningar, och cosinus och sinus för vinklarna kan beräknas med hjälp av enhetscirkeln och några enkla trianglar. Följande vinklar är mycket viktiga:
<STYLE type="text/css"> ol.lower-alpha {list-style-type:lower-alpha} </STYLE>
- 0^\circ = 0 rad. Med hjälp av enhetscirkeln ser man att \cos (0) = 1 och \sin (0) = 0.
- 90^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{2} . Enhetscirkeln ger \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 0 och \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 1.
- 45^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{4} . Vi har en likbent, rätvinklig triangel där hypotenusan (radien i enhetscirkeln) har längden 1. Om vi sätter \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = a och använder Pythagoras sats får vi a^2 + a^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 = \displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \pm \displaystyle\frac{1} {\sqrt{2}}. Eftersom a är en sidlängd kräver vi a > 0 och får \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707. Anmärkning: Det approximativa värdet kan också vara bra att känna till, t.ex. om man behöver rita det i en figur.
- 60^\circ = \displaystyle\frac{ \pi}{3}. Vi kan bilda en liksidig triangel med sidlängden 1. Symmetrin ger \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}. Pythagoras sats på halva triangeln med \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = b ger b^2 +(1/2)^2 = 1 \Leftrightarrow b^2 = \displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow b = \pm \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}, dvs \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866.
- 30^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{6}. Samma resonemang som för \displaystyle\frac{\pi}{3} ger \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} och \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}
Även cosinus och sinus för vinklar utanför första kvadranten kan beräknas med liknande trianglar, men då kan sinus eller cosinus vara negativa. Man kan t.ex. beräkna \cos \left(\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\right) med hjälp av en triangel lik den för \displaystyle\frac{\pi}{4}. Man får då \cos \left(\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\right) = – a, där a är katetens längd på samma sätt som ovan. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/805365.gif" hspace='0' vspace='0' />
Sammanfattning
Cosinus och sinus för \displaystyle\frac{\pi}{4},\displaystyle\frac{ \pi}{3} och \displaystyle\frac{\pi}{6} kan sammanfattas med hjälp av två viktiga trianglar.
<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766676.gif" hspace='0' vspace='0' />
Ur dessa trianglar kan man få de exakta trigonometriska värdena för några vanliga vinklar:
<td valign="top">
