3.1 Rötter

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Kvadratrot och n:te rot
Rotlagar

Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Skriva om ett rotuttryck i potensform.
Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda).

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Kvadratrötter

Symbolen $\,\sqrt{a}\,$, kvadratroten ur $\,a\,$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har två lösningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom såväl $\,2\cdot 2 = 4\,$ som $\,(-2)\cdot(-2) = 4\,$. Man skulle då kunna tro att $\,\sqrt{4}\,$ kan vara vilket som helst av $\,-2\,$ och $\,2\,$, dvs. $\,\sqrt{4}= \pm 2\,$, men $\,\sqrt{4}\,$ betecknar bara det positiva talet $2$.

Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\,$ dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $\,x^2 = a\,$.

Kvadratroten ur $\,a\,$ kan även skrivas $\,a^{1/2}\,$.

Det är därför fel att påstå att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$ men korrekt att säga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har lösningarna $\,x = \pm 2\,$.

Exempel 1

$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\,$ och $\,0\,$ är inte negativ.
$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \,$ och $\,10\,$ är ett positivt tal.
$\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \,$ och $\,0{,}5\,$ är positiv.
$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \,$ och $1{,}4142$ är positiv.
Ekvationen $\,x^2=2\,$ har lösningarna $\,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,$ och $\,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.
$\sqrt{-4}\quad$ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $\,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.
$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad$ eftersom $\, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom $ \sqrt{a} = a^{1/2} $ kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att $$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$ På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$

$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

$\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$
$ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$
$ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$
$ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$
$ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$. Om $\,a\,$ och $\,b\,$ är negativa (< 0) så är inte $\,\sqrt{a}\,$ och $\,\sqrt{b}\,$ definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att $ \sqrt{-1} $ inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

[redigera] N:te rötter

Kubikroten ur ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.

Exempel 3

$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$.
$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$.
$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som

om $\,n\,$ är jämn och $\,a\ge0\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$,
om $\,n\,$ är udda så är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$.

Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ kan även skrivas som $\,a^{1/n}\,$.

Exempel 4

$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad$ eftersom $\,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$.
$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad$ eftersom $\,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243\,$.
$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\,$ är jämn och $\,-17\,$ är ett negativt tal.

För $n$:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $\,a, \, b \ge 0\,$. Observera att om $n$ är udda gäller de även för negativa $\,a\,$ och $\,b\,$, dvs. för alla reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$.

$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$

[redigera] Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

eftersom man då kan förenkla t.ex.

$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Exempel 5

$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$
$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$
$\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
$\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
$\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}$
$(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$

där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$ med $\,a=\sqrt{3}\,$ och $\,b=\sqrt{2}\,$.

[redigera] Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med $ \sqrt{2} $ kan man exempelvis göra omskrivningen

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$

Exempel 6

$\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$
$\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
$\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$
$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$
$\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$

Lästips

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?

Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.1_R%C3%B6tter

3.1 Rötter

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Kvadratrötter

[redigera] N:te rötter

[redigera] Förenkling av rotuttryck

[redigera] Rationella rotuttryck

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=3.1 Rötter=
 <div class="inforuta">
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''<br/>
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Skriva om ett rotuttryck i potensform
+*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
-*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal
+*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
-*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat
+*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
-*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten
+*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
-*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck
+*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
-*Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander
+*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
-*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren
+*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
-*Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda)
+*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierat (''n'' udda).
 </div>
-[[agjöeijö|Övningar]]
+[[3.1 Övningar|Övningar]]
 </td>
 </td></tr>
-<tr><td width=600>
+<tr><td width="600">
 <!-- huvudtexten -->
 =Teori=
-teori
-$$ fristående formel dubbla dollar $$
-teori igen
-<div class="regel">
-'''Viktig regel:'''
-$$dubbeldollar$$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-Exempeltext, använd nedanstående numrering
-<ol type="a">
-<li>$matte$
-<li>text
-</ol>
-</div>
-teori igen
 ==Kvadratr&ouml;tter==
+[[Bild:761369.gif|right]]
+Symbolen $\,\sqrt{a}\,$, kvadratroten ur $\,a\,$, anv&auml;nds som bekant f&ouml;r att beteckna
-Symbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, anv&auml;nds som bekant f&ouml;r att beteckna
 det tal som multiplicerat med sig sj&auml;lvt blir $a$.
 Man m&aring;ste dock vara lite mer exakt n&auml;r man definierar denna symbol.
-Ekvationen &nbsp;$ x^2 = 4 $&nbsp; har tv&aring; l&ouml;sningar, x = 2 och x = -2, eftersom s&aring;v&auml;l $ 2\cdot 2 = 4 $&nbsp; som &nbsp;$ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle d&aring; kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar <u> bara </u> det postiva talet $2$. Vi har att
+Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har tv&aring; l&ouml;sningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom s&aring;v&auml;l $\,2\cdot 2 = 4\,$ som $\,(-2)\cdot(-2) = 4\,$. Man skulle d&aring; kunna tro att $\,\sqrt{4}\,$ kan vara vilket som helst av $\,-2\,$ och $\,2\,$, dvs. $\,\sqrt{4}= \pm 2\,$, men $\,\sqrt{4}\,$ betecknar ''bara'' det positiva talet $2$.
-:$\sqrt{a} $&nbsp; kvadratroten ur &nbsp;$ a $&nbsp; betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig
+<div class="regel">
-:självt blir &nbsp;$ a $, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen &nbsp;$ x^2 = a. $
+Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\,$ dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $\,x^2 = a\,$.
-:Kvadratroten ur &nbsp;$ a $&nbsp; kan &auml;ven skrivas &nbsp;$ a^{1/2}.$
-Det &auml;r d&auml;rf&ouml;r fel att p&aring;st&aring; att $ \sqrt{4}= \pm 2$,
-men korrekt att s&auml;ga att ekvationen $ x^2 = 4 $&nbsp; har l&ouml;sningarna
-$ x = \pm 2$.  T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat.
+Kvadratroten ur $\,a\,$ kan &auml;ven skrivas $\,a^{1/2}\,$.
+</div>
+Det &auml;r d&auml;rf&ouml;r fel att p&aring;st&aring; att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$
+men korrekt att s&auml;ga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har l&ouml;sningarna
+$\,x = \pm 2\,$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 1'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$
+<li>$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\,$ och $\,0\,$ är inte negativ. <br><br>
-<li>text
+<li>$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \,$ och $\,10\,$ är ett positivt tal. <br><br>
+<li> $\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \,$ och $\,0{,}5\,$ är positiv. <br><br>
+<li>$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \,$ och $1{,}4142$ är positiv. <br><br>
+<li>Ekvationen $\,x^2=2\,$ har lösningarna $\,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,$ och $\,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.<br><br>
+<li>$\sqrt{-4}\quad$ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $\,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.<br><br>
+<li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad$ eftersom $\, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} =  \sqrt{49} =  \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.
 </ol>
-a) $\quad \sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \;$ och $0$ är inte negativ
-b) $\quad \sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \;$ och $10$ är ett positivt tal.
-c) $\quad \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \;$ och $0{,}5$ är positiv
-d) $\quad \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \;$ och $1{,}4142$ är positiv
-e) &nbsp;Ekvationen &nbsp;$ x^2=2 $&nbsp; har lösningarna &nbsp;$ x=\sqrt{2}\approx 1,414 $&nbsp; och &nbsp;$ x = -\sqrt{2} \approx -1,414$
-f) &nbsp;$ \sqrt{-4} $&nbsp; är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $x$ sådant att $x^2=-4$.
-g) $ \sqrt{(-7)^2} = 7 \;$ eftersom $\; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} =  \sqrt{49} =  \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7$.
 </div>
 r&auml;kneregler. Eftersom &nbsp;$ \sqrt{a} = a^{1/2} $&nbsp; kan vi &ouml;verf&ouml;ra
 potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
+$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$
-$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$
 P&aring; detta s&auml;tt kan vi f&aring; fram f&ouml;ljande r&auml;kneregler f&ouml;r kvadratr&ouml;tter,
 som g&auml;ller f&ouml;r alla reella tal $ a, b \ge 0:$
+<div class="regel">
-<div class="exempel">
+$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$
-'''Exempel 1'''
-<ol type="a">
-<li>$matte$
-<li>text
-</ol>
 </div>
-$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$
-|}
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-! STYLE="background:#EED2EE;"|
-$\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$
-|}
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-! STYLE="background:#EED2EE;"|
-$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$
-|}
 (Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)
 <div class="exempel">
 '''Exempel 2'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$
+<li>$\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$ <br><br>
-<li>text
+<li>$ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$ <br><br>
+<li>$ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$ <br><br>
+<li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ <br><br>
+<li>$ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
 </ol>
 </div>
-a) $\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72
-$
-b) $ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}
-$
-c) $ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
-$
-d) $ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
-$
-e) $ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
-$
-Observera att r&auml;knereglerna ovan f&ouml;ruts&auml;tter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$
-Om a och b &auml;r negativa (< 0) s&aring; &auml;r inte $ \sqrt{a} $&nbsp; och &nbsp;$ \sqrt{b} $&nbsp;
-definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva
+Observera att r&auml;knereglerna ovan f&ouml;ruts&auml;tter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$.
+Om $\,a\,$ och $\,b\,$ &auml;r negativa (< 0) s&aring; &auml;r inte $\,\sqrt{a}\,$  och $\,\sqrt{b}\,$
+definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva
-$
+$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$
--1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1
-$
 men ser d&aring; att n&aring;got inte st&auml;mmer.
 vilket allts&aring; g&ouml;r att r&auml;knereglerna ovan inte f&aring;r anv&auml;ndas.
-==N-te r&ouml;tter==
+==N:te r&ouml;tter==
+Kubikroten ur ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.
-Kubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[3]{a}$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 3'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$
+<li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$. <br><br>
-<li>text
+<li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$. <br><br>
+<li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.
 </ol>
 </div>
-a) $\quad \sqrt[3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$.
+Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
-b) $\quad \sqrt[3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$.
-c) $\quad \sqrt[3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.
-|}
-Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
 Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som
-* om $n$ är jämn och $a\ge0$ är $\sqrt[n]{a}$ det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv $n$ gånger blir $a$
+* om $\,n\,$ är jämn och $\,a\ge0\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$,
-* om $n$ är udda sä är $\sqrt[n]{a}$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger blir $a$
+* om $\,n\,$ är udda så är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$.
-Roten $\sqrt[n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$.
+Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ kan även skrivas som $\,a^{1/n}\,$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 4'''
 <ol type="a">
-<li>$matte$
+<li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad$ eftersom $\,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$. <br><br>
-<li>text
+<li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad$ eftersom $\,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)  \cdot (-3) = -243\,$. <br><br>
+<li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\,$ är jämn och $\,-17\,$ är ett negativt tal.
 </ol>
 </div>
-$
-\mbox{ a) } \sqrt[4]{625} = 5$ eftersom $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625
-$
-$
-\mbox{ b) } \sqrt[5]{-243} = -3$ eftersom $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)  \cdot (-3) = -243
-$
-$
-\mbox{ c) } \sqrt[6]{-17}$ är inte definierad eftersom $6$ är jämn och $-17$ är ett negativt tal.
-$
-F&ouml;r ''n''-te r&ouml;tter g&auml;ller samma r&auml;kneregler som f&ouml;r kvadratr&ouml;tter om $ a, \: b \ge 0 .$
-OBS! om ''n'' &auml;r udda g&auml;ller de &auml;ven f&ouml;r negativa ''a'' och ''b'', dvs. f&ouml;r all reella tal ''a, b''.
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-! STYLE="background:#EED2EE;"|
-$
-\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}
-$
-|}
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-! STYLE="background:#EED2EE;"|
-$
-\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}
-$
-|}
-{| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-! STYLE="background:#EED2EE;"|
-$
-a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
-$
-|}
+F&ouml;r $n$:te r&ouml;tter g&auml;ller samma r&auml;kneregler som f&ouml;r kvadratr&ouml;tter om $\,a, \, b \ge 0\,$.
+Observera att om $n$ &auml;r udda g&auml;ller de &auml;ven f&ouml;r negativa $\,a\,$ och $\,b\,$, dvs. f&ouml;r alla reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$.
+<div class="regel">
+$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr  a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$
+</div>
 ==F&ouml;renkling av rotuttryck==
 eftersom man d&aring; kan f&ouml;renkla t.ex.
-$$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
+$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$
 Genom att skriva rotuttryck i termer av "sm&aring;" r&ouml;tter kan man ocks&aring; addera r&ouml;tter av "samma
 sort", t.ex.
-$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$$
+$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$
 <div class="exempel">
 '''Exempel 5'''
 <ol type="a">
-<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} =
+<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$ <br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} =
+<li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2  \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} =
+<li>$\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} =
+<li>$\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$<br/>
-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}$ <br><br>
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$<br>
-<li>
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} =
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} =
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} =
+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2^2  \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
-<li>$
-\sqrt{45} + \sqrt{20} =
-\sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} =
-\sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} =
-\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
-$<br><br>
-<li>
-{| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"
-|-
-| $\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}$ ||$=$ || $\sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$
-|-
-| ||$=$ || $\sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}$
-|-
-| ||$=$ ||$\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}$
-|-
-| ||$=$ || $5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$
-|-
-| ||$=$ ||$(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}$
-|-
-|  ||$=$ ||$\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$
-|}
+<li>$\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3}  \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =
+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
+\sqrt[\scriptstyle3]{2}$ <br><br>
+<li>$(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$ <br>
+:där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$ med $\,a=\sqrt{3}\,$ och $\,b=\sqrt{2}\,$.
-<li>$
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3}  \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
-\sqrt[\scriptstyle3]{2}
-$ <br><br>
-<li>
-$\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =
-(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$ <br><br>
-$\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)$
 </ol>
 vilket oftast &auml;r att f&ouml;redra.
-I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och f&ouml;rl&auml;nga
+I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och f&ouml;rl&auml;nga
-med n&auml;mnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. P&aring; s&aring; s&auml;tt f&ouml;rsvinner rottecknen fr&aring;n n&auml;mnaren, t.ex.
+med n&auml;mnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. P&aring; s&aring; s&auml;tt f&ouml;rsvinner rottecknen fr&aring;n n&auml;mnaren genom kvadreringen, t.ex.
-$$
+$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } =
-\displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } =
-\displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } =
-\sqrt{6} - \sqrt{3}
-$$
 <div class="exempel">
 '''Exempel 6'''
 <ol type="a">
-<li>$
+<li>$\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$ <br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} =
+<li>$\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} =
+<li>$\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} =  -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{15}}{5} =
+<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$<br>
-\sqrt{15}
+$\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$
-$ <br><br>
-<li>$
-\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} =
-\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} =
-\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
-$<br><br>
-<li>
-$
-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} =
-\displaystyle\frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} =
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2})^2-2^2} =
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} =
--\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
-$<br><br>
-<li>
-$(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}) =
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{18}} =
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}} =$ <br><br>
-:$ =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{6} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} -\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{6}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$
 </ol>
 </div>
+[[3.1 Övningar|Övningar]]
 <div class="inforuta">
 '''Råd för inläsning'''
+'''Grund- och slutprov'''
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
 '''Tänk på att:'''
-Kvadratroten ur ett tal alltid är icke-negativ (dvs positiv eller lika med noll)!
+Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!
 Rotlagarna  är egentligen specialfall av potenslagarna.
 '''Lästips'''
-för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
+För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
-[http://en.wikipedia.org/wiki/Root_(mathematics) Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]
+[http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]
 [http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]
 </div>
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''
 <!-- slut teori -->