3.1 Rötter

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 26 april 2007 kl. 10.08 (redigera)
Lina (Diskussion | bidrag)

← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (15 februari 2008 kl. 06.50) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag)
(Bytt kvadratrotslänk)
 
(11 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +__NOTOC__
<table><tr><td width="600"> <table><tr><td width="600">
- 
-=3.1 Rötter= 
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
Rad 10: Rad 9:
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''+'''Lärandemål:'''<br/>
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Skriva om ett rotuttryck i potensform+*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
-*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal+*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
-*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat+*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
-*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten+*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
-*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck+*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
-*Rotlagarna bara gäller för icke-negativa radikander+*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
-*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren+*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
-*Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda) +*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierat (''n'' udda).
</div> </div>
- 
- 
[[3.1 Övningar|Övningar]] [[3.1 Övningar|Övningar]]
Rad 37: Rad 34:
==Kvadratr&ouml;tter== ==Kvadratr&ouml;tter==
-Symbolen $ \sqrt{a} $ , kvadratroten ur $a$, anv&auml;nds som bekant f&ouml;r att beteckna +[[Bild:761369.gif|right]]
 +Symbolen $\,\sqrt{a}\,$, kvadratroten ur $\,a\,$, anv&auml;nds som bekant f&ouml;r att beteckna
det tal som multiplicerat med sig sj&auml;lvt blir $a$. det tal som multiplicerat med sig sj&auml;lvt blir $a$.
Man m&aring;ste dock vara lite mer exakt n&auml;r man definierar denna symbol. Man m&aring;ste dock vara lite mer exakt n&auml;r man definierar denna symbol.
-Ekvationen &nbsp;$ x^2 = 4 $&nbsp; har tv&aring; l&ouml;sningar, x = 2 och x = -2, eftersom s&aring;v&auml;l $ 2\cdot 2 = 4 $&nbsp; som &nbsp;$ (-2)\cdot(-2) = 4$. Man skulle d&aring; kunna tro att $ \sqrt{4} $ kan vara vilket som helst av $-2$ och $2$, dvs. $\sqrt{4}= \pm 2$, men $\sqrt{4}$ betecknar <u> bara </u> det postiva talet $2$. Vi har att+Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har tv&aring; l&ouml;sningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom s&aring;v&auml;l $\,2\cdot 2 = 4\,$ som $\,(-2)\cdot(-2) = 4\,$. Man skulle d&aring; kunna tro att $\,\sqrt{4}\,$ kan vara vilket som helst av $\,-2\,$ och $\,2\,$, dvs. $\,\sqrt{4}= \pm 2\,$, men $\,\sqrt{4}\,$ betecknar ''bara'' det positiva talet $2$.
-:$\sqrt{a} $&nbsp; kvadratroten ur &nbsp;$ a $&nbsp; betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig  
-:självt blir &nbsp;$ a $, dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen &nbsp;$ x^2 = a. $ 
-:Kvadratroten ur &nbsp;$ a $&nbsp; kan &auml;ven skrivas &nbsp;$ a^{1/2}.$+<div class="regel">
 +Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\,$ dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $\,x^2 = a\,$.
-Det &auml;r d&auml;rf&ouml;r fel att p&aring;st&aring; att $ \sqrt{4}= \pm 2$, +Kvadratroten ur $\,a\,$ kan &auml;ven skrivas $\,a^{1/2}\,$.
-men korrekt att s&auml;ga att ekvationen $ x^2 = 4 $&nbsp; har l&ouml;sningarna +</div>
-$ x = \pm 2$. T.ex. gäller därmed att $-\sqrt{4}=-2$ och inget annat.+ 
 +Det &auml;r d&auml;rf&ouml;r fel att p&aring;st&aring; att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$
 +men korrekt att s&auml;ga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har l&ouml;sningarna
 +$\,x = \pm 2\,$.
<div class="exempel"> <div class="exempel">
'''Exempel 1''' '''Exempel 1'''
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\; 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \;$ och $0$ är inte negativ <br><br>+<li>$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\,$ och $\,0\,$ är inte negativ. <br><br>
-<li>$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\; 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \;$ och $10$ är ett positivt tal. <br><br>+<li>$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \,$ och $\,10\,$ är ett positivt tal. <br><br>
-<li> $ \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\; 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \;$ och $0{,}5$ är positiv <br><br>+<li> $\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \,$ och $\,0{,}5\,$ är positiv. <br><br>
-<li>$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\; 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \;$ och $1{,}4142$ är positiv <br><br>+<li>$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \,$ och $1{,}4142$ är positiv. <br><br>
-<li>Ekvationen &nbsp;$ x^2=2 $&nbsp; har lösningarna &nbsp;$ x=\sqrt{2}\approx 1,414 $&nbsp; och &nbsp;$ x = -\sqrt{2} \approx -1,414$<br><br>+<li>Ekvationen $\,x^2=2\,$ har lösningarna $\,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,$ och $\,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.<br><br>
-<li>$ \sqrt{-4} $&nbsp; är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $x$ sådant att $x^2=-4$.<br><br>+<li>$\sqrt{-4}\quad$ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $\,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.<br><br>
-<li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \;$ eftersom $\; \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7$.+<li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad$ eftersom $\, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.
</ol> </ol>
- 
</div> </div>
Rad 69: Rad 68:
r&auml;kneregler. Eftersom &nbsp;$ \sqrt{a} = a^{1/2} $&nbsp; kan vi &ouml;verf&ouml;ra r&auml;kneregler. Eftersom &nbsp;$ \sqrt{a} = a^{1/2} $&nbsp; kan vi &ouml;verf&ouml;ra
potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
- +$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$
-$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}$$+
- +
P&aring; detta s&auml;tt kan vi f&aring; fram f&ouml;ljande r&auml;kneregler f&ouml;r kvadratr&ouml;tter, P&aring; detta s&auml;tt kan vi f&aring; fram f&ouml;ljande r&auml;kneregler f&ouml;r kvadratr&ouml;tter,
som g&auml;ller f&ouml;r alla reella tal $ a, b \ge 0:$ som g&auml;ller f&ouml;r alla reella tal $ a, b \ge 0:$
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$+$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$
</div> </div>
- 
-<div class="regel"> 
-$$\sqrt{a/b}= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$$ 
-</div> 
- 
-<div class="regel"> 
-$$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$ 
-</div> 
- 
(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.) (Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)
Rad 101: Rad 89:
</div> </div>
-Observera att r&auml;knereglerna ovan f&ouml;ruts&auml;tter att $ a \mbox{ och } b \ge 0.$ +Observera att r&auml;knereglerna ovan f&ouml;ruts&auml;tter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$.
-Om a och b &auml;r negativa (< 0) s&aring; &auml;r inte $ \sqrt{a} $&nbsp; och &nbsp;$ \sqrt{b} $&nbsp; +Om $\,a\,$ och $\,b\,$ &auml;r negativa (< 0) s&aring; &auml;r inte $\,\sqrt{a}\,$ och $\,\sqrt{b}\,$
-definierade som reella tal. Man skulle kunna frestas att skriva +definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva
$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$ $$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$
Rad 111: Rad 99:
vilket allts&aring; g&ouml;r att r&auml;knereglerna ovan inte f&aring;r anv&auml;ndas. vilket allts&aring; g&ouml;r att r&auml;knereglerna ovan inte f&aring;r anv&auml;ndas.
-==N-te r&ouml;tter==+==N:te r&ouml;tter==
-Kubikroten ut ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.+Kubikroten ur ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.
<div class="exempel"> <div class="exempel">
Rad 124: Rad 112:
</div> </div>
-Notera att, till skillnad fån kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal. +Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som
-* om $n$ är jämn och $a\ge0$ är $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ det icke-negativa tal som multiplicerat sig själv $n$ gånger blir $a$+* om $\,n\,$ är jämn och $\,a\ge0\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$,
-* om $n$ är udda är $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger blir $a$+* om $\,n\,$ är udda är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$.
-Roten $\sqrt[\scriptstyle n]{a}$ kan även skrivas som $a^{1/n}$.+Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ kan även skrivas som $\,a^{1/n}\,$.
<div class="exempel"> <div class="exempel">
'''Exempel 4''' '''Exempel 4'''
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5$ eftersom $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ <br><br>+<li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad$ eftersom $\,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$. <br><br>
-<li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3$ eftersom $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$ <br><br>+<li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad$ eftersom $\,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243\,$. <br><br>
-<li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}$ är inte definierad eftersom $6$ är jämn och $-17$ är ett negativt tal. $+<li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\,$ är jämn och $\,-17\,$ är ett negativt tal.
</ol> </ol>
</div> </div>
-F&ouml;r $n$-te r&ouml;tter g&auml;ller samma r&auml;kneregler som f&ouml;r kvadratr&ouml;tter om $ a, \: b \ge 0$.+F&ouml;r $n$:te r&ouml;tter g&auml;ller samma r&auml;kneregler som f&ouml;r kvadratr&ouml;tter om $\,a, \, b \ge 0\,$.
-OBS! om $n$ &auml;r udda g&auml;ller de &auml;ven f&ouml;r negativa $a$ och $b$, dvs. f&ouml;r all reella tal $a, b$.+Observera att om $n$ &auml;r udda g&auml;ller de &auml;ven f&ouml;r negativa $\,a\,$ och $\,b\,$, dvs. f&ouml;r alla reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$.
<div class="regel"> <div class="regel">
-$$\sqrt[\scriptstyle n]{ab}=\sqrt[\scriptstyle n]{a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}$$+$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$
-</div>+
- +
-<div class="regel">+
-$$\sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}$$+
-</div>+
- +
-<div class="regel">+
-$$a\cdot\sqrt[\scriptstyle n]{b}=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}$$+
</div> </div>
Rad 167: Rad 147:
eftersom man d&aring; kan f&ouml;renkla t.ex. eftersom man d&aring; kan f&ouml;renkla t.ex.
-$$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{2} = \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$+$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$
- +
Genom att skriva rotuttryck i termer av "sm&aring;" r&ouml;tter kan man ocks&aring; addera r&ouml;tter av "samma Genom att skriva rotuttryck i termer av "sm&aring;" r&ouml;tter kan man ocks&aring; addera r&ouml;tter av "samma
sort", t.ex. sort", t.ex.
-$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}$$+$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$
<div class="exempel"> <div class="exempel">
'''Exempel 5''' '''Exempel 5'''
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} =+<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$ <br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} =+<li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} =+<li>$\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} =+<li>$\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$<br/>
-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}$ <br><br>+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$<br>
-<li>+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = +$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} =+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} =+$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br><br>
-\displaystyle\frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} =+
-\displaystyle\frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>+
-<li>$+
-\sqrt{45} + \sqrt{20} =+
-\sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} =+
-\sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} =+
-3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} +
-$<br><br>+
-<li>+
-{| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="left"+
-|-+
-| $\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}$ ||$=$ || $\sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$ +
-|-+
-| ||$=$ || $\sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 8} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}$ +
-|-+
-| ||$=$ ||$\sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}$ +
-|-+
-| ||$=$ || $5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$ +
-|-+
-| ||$=$ ||$(5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}$ +
-|-+
-| ||$=$ ||$\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$+
-|}+
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
-<li>$+<li>$\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } =+\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
-\displaystyle\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =+\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
-\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =+\sqrt[\scriptstyle3]{2}$ <br><br>
-\sqrt[\scriptstyle3]{2}+<li>$(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$ <br>
-$ <br><br>+:där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$ med $\,a=\sqrt{3}\,$ och $\,b=\sqrt{2}\,$.
-<li>+
-$\mbox{ f) } (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) =+
-(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$ <br><br>+
-$\mbox{ (Konjugatregeln: } (a+b)(a-b) = a^2 - b^2)$+
</ol> </ol>
Rad 253: Rad 190:
vilket oftast &auml;r att f&ouml;redra. vilket oftast &auml;r att f&ouml;redra.
-I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, och f&ouml;rl&auml;nga+I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och f&ouml;rl&auml;nga
-med n&auml;mnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. P&aring; s&aring; s&auml;tt f&ouml;rsvinner rottecknen fr&aring;n n&auml;mnaren, t.ex. +med n&auml;mnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. P&aring; s&aring; s&auml;tt f&ouml;rsvinner rottecknen fr&aring;n n&auml;mnaren genom kvadreringen, t.ex.
-$$+$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} = +
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = +
-\displaystyle\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} $$+
- +
-$$=\displaystyle\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2})^2 - 1^2 } =+
-\displaystyle\frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } =+
-\displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } =+
-\sqrt{6} - \sqrt{3}+
-$$+
<div class="exempel"> <div class="exempel">
'''Exempel 6''' '''Exempel 6'''
<ol type="a"> <ol type="a">
-<li>$+<li>$\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$ <br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = +<li>$\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = +<li>$\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$<br><br>
-\displaystyle\frac{10\sqrt{15}}{5} = +<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$<br>
-2\sqrt{15}+$\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$
-$ <br><br>+
-<li>$+
-\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = +
-\displaystyle\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = +
-\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+
-$<br><br>+
-<li>+
-$+
-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = +
-\displaystyle\frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = +
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2})^2-2^2} = +
-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = +
--\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+6}{2} +
-$<br><br>+
-<li>+
-$(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}})(1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6}}) = +
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{12}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{18}} = +
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}- \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}} =$ <br><br>+
-:$ =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{6} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6} -\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{6}- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$+
</ol> </ol>
</div> </div>
 +
 +[[3.1 Övningar|Övningar]]
 +
<div class="inforuta"> <div class="inforuta">
'''Råd för inläsning''' '''Råd för inläsning'''
 +
 +'''Grund- och slutprov'''
 +
 +Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
 +
'''Tänk på att:''' '''Tänk på att:'''
-Kvadratroten ur ett tal alltid är icke-negativ (dvs positiv eller lika med noll)! +Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!
Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna. Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.
Rad 312: Rad 229:
'''Lästips''' '''Lästips'''
-för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring+För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
-[http://en.wikipedia.org/wiki/Root_(mathematics) Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]+[http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]
[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?] [http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]
Rad 324: Rad 241:
</div> </div>
- 
- 
- 
- 
-''' © Copyright 2007, math.se''' 
- 
- 
- 
<!-- slut teori --> <!-- slut teori -->

Nuvarande version

Innehåll:

  • Kvadratrot och n:te rot
  • Rotlagar

Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Skriva om ett rotuttryck i potensform.
  • Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
  • Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
  • Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
  • Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
  • Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
  • Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
  • Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierat (n udda).

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Kvadratrötter

Symbolen $\,\sqrt{a}\,$, kvadratroten ur $\,a\,$, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har två lösningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom såväl $\,2\cdot 2 = 4\,$ som $\,(-2)\cdot(-2) = 4\,$. Man skulle då kunna tro att $\,\sqrt{4}\,$ kan vara vilket som helst av $\,-2\,$ och $\,2\,$, dvs. $\,\sqrt{4}= \pm 2\,$, men $\,\sqrt{4}\,$ betecknar bara det positiva talet $2$.


Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\,$ dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $\,x^2 = a\,$.

Kvadratroten ur $\,a\,$ kan även skrivas $\,a^{1/2}\,$.

Det är därför fel att påstå att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$ men korrekt att säga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har lösningarna $\,x = \pm 2\,$.

Exempel 1

  1. $\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\,$ och $\,0\,$ är inte negativ.

  2. $\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \,$ och $\,10\,$ är ett positivt tal.

  3. $\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \,$ och $\,0{,}5\,$ är positiv.

  4. $\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \,$ och $1{,}4142$ är positiv.

  5. Ekvationen $\,x^2=2\,$ har lösningarna $\,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,$ och $\,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.

  6. $\sqrt{-4}\quad$ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $\,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.

  7. $ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad$ eftersom $\, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom  $ \sqrt{a} = a^{1/2} $  kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att $$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$ På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$

$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

  1. $\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$

  2. $ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$

  3. $ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$

  4. $ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$

  5. $ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$. Om $\,a\,$ och $\,b\,$ är negativa (< 0) så är inte $\,\sqrt{a}\,$ och $\,\sqrt{b}\,$ definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att  $ \sqrt{-1} $  inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

[redigera] N:te rötter

Kubikroten ur ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.

Exempel 3

  1. $\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$.

  2. $\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$.

  3. $\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som

  • om $\,n\,$ är jämn och $\,a\ge0\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$,
  • om $\,n\,$ är udda så är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$.

Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ kan även skrivas som $\,a^{1/n}\,$.

Exempel 4

  1. $ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad$ eftersom $\,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$.

  2. $ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad$ eftersom $\,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243\,$.

  3. $\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\,$ är jämn och $\,-17\,$ är ett negativt tal.

För $n$:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $\,a, \, b \ge 0\,$. Observera att om $n$ är udda gäller de även för negativa $\,a\,$ och $\,b\,$, dvs. för alla reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$.

$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$

[redigera] Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

eftersom man då kan förenkla t.ex.

$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Exempel 5

  1. $\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$

  2. $ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$

  3. $\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

  4. $\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$
    $\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$
    $\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
    $\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
    $\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$
    $\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$

  5. $\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}$

  6. $(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$
    där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$ med $\,a=\sqrt{3}\,$ och $\,b=\sqrt{2}\,$.

[redigera] Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med  $ \sqrt{2} $  kan man exempelvis göra omskrivningen

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$

Exempel 6

  1. $\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$

  2. $\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

  3. $\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$

  4. $\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$
    $\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$

Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$


Lästips

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?


Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?


Personliga verktyg