4.2 Trigonometriska funktioner

Övningar

Teori

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten $a$ och den närliggande kateten $b$ för tangens av vinkeln $u$ och betecknas $\tan u$.

Bild: figur 3.3.1 $\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}$

Värdet på kvoten $\frac{a}{b}$ är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln $u$. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarandet tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är $\cos u = b/c$ ("cosinus av $u$") och $\sin u = a/c$ ("sinus av $u$").

Bild: figur 3.3.7 (vänstermarginal)

$\cos u = \displaystyle \frac{b}{c}$

$\sin u = \displaystyle \frac{a}{c}$

Precis som för tangens är kvoterna som definerar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln $u$.

Några standardvinklar

För vissa vinklar $30^\circ$, $45^\circ$ och $60^\circ$ går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

Man kan ha stor nytta av att känna till de exakta värdena på cosinus och sinus för några standardvinklar. Dessa vinklar dyker ofta upp i geometriska tillämpningar, och cosinus och sinus för vinklarna kan beräknas med hjälp av enhetscirkeln och några enkla trianglar. Följande vinklar är mycket viktiga:

<STYLE type="text/css"> ol.lower-alpha {list-style-type:lower-alpha} </STYLE>

1. $0^\circ = 0$ rad. Med hjälp av enhetscirkeln ser man att $\cos (0) = 1$ och $\sin (0) = 0$.
2. $90^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{2} $. Enhetscirkeln ger $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 0$ och $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
3. $45^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{4} $. Vi har en likbent, rätvinklig triangel där hypotenusan (radien i enhetscirkeln) har längden 1. Om vi sätter $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = a$ och använder Pythagoras sats får vi $a^2 + a^2 = 1 \Leftrightarrow a^2 = \displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \pm \displaystyle\frac{1} {\sqrt{2}}$. Eftersom a är en sidlängd kräver vi $a > 0$ och får $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707$. Anmärkning: Det approximativa värdet kan också vara bra att känna till, t.ex. om man behöver rita det i en figur.
4. $60^\circ = \displaystyle\frac{ \pi}{3}$. Vi kan bilda en liksidig triangel med sidlängden 1. Symmetrin ger $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}$. Pythagoras sats på halva triangeln med $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = b$ ger $b^2 +(1/2)^2 = 1 \Leftrightarrow b^2 = \displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow b = \pm \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$, dvs $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$.
5. $30^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{6}$. Samma resonemang som för $\displaystyle\frac{\pi}{3}$ ger $\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ och $\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}$

<img src="ppStdFiles2261/805365.gif" hspace='0' vspace='0' />

Sammanfattning

Cosinus och sinus för $\displaystyle\frac{\pi}{4}$,$\displaystyle\frac{ \pi}{3}$ och $\displaystyle\frac{\pi}{6}$ kan sammanfattas med hjälp av två viktiga trianglar.

<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766676.gif" hspace='0' vspace='0' />

Ur dessa trianglar kan man få de exakta trigonometriska värdena för några vanliga vinklar:

<p align="left"><img src="ppStdFiles2261/766677.gif" hspace='0' vspace='0' />

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

Definitioner

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens definierades ursprungligen som förhållanden mellan de olika sidorna i en rätvinklig triangel. Denna definition har en nackdel: I en rätvinklig triangel finns inga negativa vinklar och inga vinklar större än $90^\circ$.

<img src="object49972/bilder/3_3/3_3_01.gif" align="right">Därför använder man ofta en alternativ definition som utgår från enhetscirkeln. En enhetscirkel är en cirkel med medelpunkten i origo och med radien 1. Enhetscirkeln har ekvationen $x^2 + y^2 = 1$ dvs alla punkter (x, y) på cirkeln uppfyller denna ekvation. Om en linje dras från origo till en godtycklig punkt på cirkeln så bildas en vinkel v mellan linjen och den positiva delen av x-axeln. De trigonometriska funktionerna sinus och cosinus definieras då som koordinaterna för punkten (x, y) som funktion av vinkeln v så att

$\cos v = x$

och

$\sin v = y$.

Liksom tidigare gäller att $\tan v = \displaystyle\frac{\sin v}{\cos v}$. Tangens kan då tolkas som riktningskoefficienten för linjen som går från origo till punkten (x, y), och avläsas som y-koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och den lodräta linjen x = 1. Funktionen $\tan v$ är inte definierad då $\cos v = 0$.

Definitionerna för sinus och cosinus i rätvinkliga trianglar (spetsiga vinklar) stämmer väl överens med denna definition och utgör då de specialfall då punkten befinner sig i första kvadranten.

För de trigonometriska funktionerna brukar vinkeln v anges i radianer. Då blir det lätt att derivera och integrera funktionerna. När vi betraktar sinus som en funktion brukar vi också byta namn på variabeln. Istället för att kalla vinkeln för v så kallar vi den för x, eftersom den är indata till funktionen. Själva funktionsvärdet, $\sin x$, kan vi på samma sätt kalla för y. Då kan vi rita upp funktionens graf i ett x, y-koordinatsystem. Förväxla inte dessa x och y med dem i enhetscirkeln!

Det är viktigt att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna. Enhetscirkeln är också mycket användbar för att komma ihåg många trigonometriska samband (avsnitt 3.4) och för att lösa trigonometriska ekvationer (avsnitt 3.5).

Det trigonometriska funktionernas grafer

Grafer

Sinus och cosinus kan med hjälp av enhetscirkeln definieras för alla värden på vinkeln v. Experimentera gärna med cosinus och sinus i enhetscirkeln. <p align="left"><img src="ppStdFiles2261/774137.gif" hspace='0' vspace='0' />
Interaktivt experiment: Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Om vinkeln räknas moturs (positiv riktning) så är vinkeln positiv. Om vinkeln räknas medurs (negativ riktning) så är vinkeln negativ. Om vinkeln är större än $2\pi$ eller mindre än $–2 \pi$ , kan man "snurra" mer än ett varv i enhetscirkeln. Detta visar att de trigonometriska funktionerna är periodiska: Funktionsvärdena återkommer eftersom man för varje varv kommer tillbaka till samma punkter och därmed samma koordinater. Exempelvis innebär periodiciteten att

$\sin x = \sin(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi n)$

där n är ett godtyckligt heltal. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766673.gif" hspace='0' vspace='0' />

Eftersom $\tan x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}$ så följer egenskaperna för denna funktion ur de egenskaper som vi gått igenom för $ \sin x $ och $\cos x$. Funktionen är därför också periodisk, men det visar sig att den blir periodisk med perioden $\pi$. Detta beror på att $\sin x = - \sin(x + \pi)$ och $\cos x = - \cos(x + \pi)$ och att minustecknen försvinner när vi dividerar. Alltså är $\tan x = \tan(x + \pi n)$ där n är ett godtyckligt heltal: <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766671.gif" hspace='0' vspace='0' />

Det är viktigt att kunna skissa graferna för de trigonometriska funktionerna. Trigonometriska ekvationer har ofta flera lösningar, och med en enkel skiss kan man få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var man kan hitta lösningarna.

© Copyright 2006, KTH Matematik