4.2 Trigonometriska funktioner

Sommarmatte 1

Version från den 24 april 2007 kl. 14.56; Lina (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Innehåll

4.2 Trigonometriska funktioner

Innehåll:

  • De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens


Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln
  • Kunna utantill värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna $ 0 $, $\pi/6$ , $\pi/4$ , $\pi/3$ och $\pi/2$
  • Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna med periodicitet
  • Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens

Övningar

Teori

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten $a$ och den närliggande kateten $b$ för tangens av vinkeln $u$ och betecknas $\tan u$.

Bild: figur 3.3.1 $\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}$

Värdet på kvoten $\frac{a}{b}$ är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln $u$. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarandet tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).


Exempel 1

Hur hög är flaggstången?

Bild: figur 3.3.2

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med $x$ nedan).

Bild: figur 3.3.3

Från definitionen av tangens har vi att $$\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}$$

och eftersom $\tan 40^\circ \approx 0{,}84$ så är $$x= 5\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2 \mbox{m} \; \mbox{.}$$

Exempel 2

Bestäm längden av sidan markerad med $x$ i figuren.

Bild: figur 3.3.4

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $u$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\tan u$.

Bild: 3.3.5 (vänstermarignal) $\tan u = \displaystyle \frac{22}{40}$

Bild: 3.3.6 (vänstermarginal)

$\tan u = \displaystyle \frac{x}{60}$

Sätter vi de två uttrycken för $\tan u$ lika fås $$\frac{22}{40} = \frac{x}{60}$$

vilket ger att $x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33$.

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är $\cos u = b/c$ ("cosinus av $u$") och $\sin u = a/c$ ("sinus av $u$").

Bild: figur 3.3.7 (vänstermarginal)

$\cos u = \displaystyle \frac{b}{c}$

$\sin u = \displaystyle \frac{a}{c}$

Precis som för tangens är kvoterna som definerar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln $u$.

Exempel 3

Bild: figur 3.3.8 (vänstermarginal)

  1. I triangel till vänster är $$\cos u = \frac{4}{5}$$ $$\sin u = \frac{3}{5}$$

Bild: figur 3.3.9 (vänstermarginal)

  1. Definitionen av sinus ger att $$\sin 38^\circ = \frac{x}{5}$$ och vet vi att $\sin 38^\circ \approx 0{,}616$ så får vi att $$x=5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1 \; \mbox{.}$$

Bild: figur 3.3.10 (vänstermarginal)

  1. Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan $$\cos 34^\circ = \frac{3}{x}$$ Alltså är $$x=\frac{3}{\cos 34^\circ} \; \mbox{.}$$

Exempel 4

Bestäm $\sin u$ i triangeln Bild: figur 3.3.11

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

Bild: figur 3.3.12 (vänster)

$1^2= \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 + x^2 \Leftrightarrow x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

och därför är $\sin u = \displaystyle \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Några standardvinklar

För vissa vinklar $30^\circ$, $45^\circ$ och $60^\circ$ går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

Exempel 5

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd $1$. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatt hörn i två lika delar $45^\circ$.

Bild: figur 3.3.13

Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd $x$, $$x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\; \mbox{.}$$

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln $45^\circ$.

Bild: 3.3.14 (vänstermarginal)

$\cos 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan 45^\circ = \displaystyle \frac{1}{1}= 1$

Exempel 6

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längden $1$. Vinklarna i triangeln är alla $60^\circ$. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.

Bild: figurer 3.3.15 och 3.3.16

Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $x=\sqrt{3}/2$ (se figur). Från en triangelhalva får vi att

Bild: figur 3.3.17 (vänstermarginal)

$\cos 30^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}\, ; \quad \cos 60^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}} =\displaystyle{\frac{1}{2}}$

$\sin 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{1}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\, ; \quad \sin 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1}} =\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\tan 30^\circ = \displaystyle{\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}} =\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}\, ; \quad \tan 60^\circ = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}}=\sqrt{3}$

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

För vinklar som är mindre än $0^\circ$ eller större än $90^\circ$ defineras de trigonometrisk funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie $1$).

De trigonometriska funktioner $\cos u$ och $\sin u$ är $x$- respektive $y$- koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln $u$ med den positiva $x$-axeln.

Bild:3.3.8 (högermarginal)

Liksom tidigare gäller att

$$\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u} \; \mbox{.}$$

Tangens kan då tolkas som riktningskoefficienten av det radiella linjesegmentet.

Exempel 7

Från figurerna nedan avläser vi värdena på $\cos$ och $\sin$.

Bild: figur 3.3.19 (vänstermarginal)

  1. $\cos 104^\circ \approx -0{,}24$

    $\sin 104^\circ \approx 0{,}97$

    $\tan 104^\circ \approx \displaystyle \frac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0$

Bild: figur 3.3.20 (vänstermarginal)

  1. $\cos 201^\circ \approx -0{,}93$

    $\sin 201^\circ \approx -0{,}36$

    $\tan 201^\circ \approx \displaystyle \frac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4$

Exempel 8

  1. $\cos 209^\circ$

    Eftersom vinkeln $209^\circ$ kan skrivas som $209^\circ = 180^\circ + 29^\circ$ så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ $x$-koordinat, vilket betyder att $\cos 209^\circ$ är negativ.
    Bild: 3.3.21

  2. $\sin 133^\circ$

    Vinkeln $133^\circ$ är lika med $90^\circ + 34^\circ$ och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv $y$-koordinat och därför är $\sin 133^\circ$ postiv.
    Bild: 3.3.22

  3. $\tan (-40^\circ)$

    Ritas vinkeln $-40^\circ$ in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, d.v.s. $\tan (-40^\circ)$ är negativ.
    Bild: 3.3.23

Det trigonometriska funktionernas grafer

Grafer

Sinus och cosinus kan med hjälp av enhetscirkeln definieras för alla värden på vinkeln v. Experimentera gärna med cosinus och sinus i enhetscirkeln.

<img src="ppStdFiles2261/774137.gif" hspace='0' vspace='0' />
Interaktivt experiment: Sinus och cosinus i enhetscirkeln Om vinkeln räknas moturs (positiv riktning) så är vinkeln positiv. Om vinkeln räknas medurs (negativ riktning) så är vinkeln negativ. Om vinkeln är större än $2\pi$ eller mindre än $–2 \pi$ , kan man "snurra" mer än ett varv i enhetscirkeln. Detta visar att de trigonometriska funktionerna är periodiska: Funktionsvärdena återkommer eftersom man för varje varv kommer tillbaka till samma punkter och därmed samma koordinater. Exempelvis innebär periodiciteten att $\sin x = \sin(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi n)$ där n är ett godtyckligt heltal. <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766673.gif" hspace='0' vspace='0' />
Eftersom $\tan x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}$ så följer egenskaperna för denna funktion ur de egenskaper som vi gått igenom för $ \sin x $ och $\cos x$. Funktionen är därför också periodisk, men det visar sig att den blir periodisk med perioden $\pi$. Detta beror på att $\sin x = - \sin(x + \pi)$ och $\cos x = - \cos(x + \pi)$ och att minustecknen försvinner när vi dividerar. Alltså är $\tan x = \tan(x + \pi n)$ där n är ett godtyckligt heltal: <p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766671.gif" hspace='0' vspace='0' />
Det är viktigt att kunna skissa graferna för de trigonometriska funktionerna. Trigonometriska ekvationer har ofta flera lösningar, och med en enkel skiss kan man få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var man kan hitta lösningarna.

Råd för inläsning

Tänk på att:

Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning.

Du kan behöva lägga ner mycket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna.

Ta för vana att räkna med exakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttryck.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om Trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"

Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia

Läs mer om enhetscirkeln på engelska Wikipedia


Länktips

Experimentera med sinus och cosinus i enhetscirkeln

Experimentera med Euklidisk geometri


© Copyright 2006, KTH Matematik




Personliga verktyg