Processing Math: 27%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

4.3 Övningar

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #000" width="5px" |   {{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samban...)
Nuvarande version (6 maj 2010 kl. 12.45) (redigera) (ogör)
(Länkar in Ja/Nej-frågor)
 
(17 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 4: Rad 4:
{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samband|Teori]]}}
{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samband|Teori]]}}
{{Mall:Vald flik|[[4.3 Övningar|Övningar]]}}
{{Mall:Vald flik|[[4.3 Övningar|Övningar]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Ja eller Nej?|Ja/Nej?]]}}
| style="border-bottom:1px solid #000" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #000" width="100%"|  
|}
|}
Rad 19: Rad 20:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:1|Lösning a |Lösning 4.3:1a|Lösning b |Lösning 4.3:1b|Lösning c |Lösning 4.3:1c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:1|Lösning a |Lösning 4.3:1a|Lösning b |Lösning 4.3:1b|Lösning c |Lösning 4.3:1c}}
 +
 +
===Övning 4.3:2===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestäm de vinklar <math>\,v\,</math> mellan 0 och <math>\,\pi\,</math> som uppfyller
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:2|Lösning a |Lösning 4.3:2a|Lösning b |Lösning 4.3:2b}}
 +
 +
===Övning 4.3:3===
 +
<div class="ovning">
 +
Antag att <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> och att <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Uttryck med hjälp av <math>\,a</math>
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\sin{(-v)}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\sin{(\pi-v)}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v}</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|width="50%" | <math>\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}</math>
 +
|f)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:3|Lösning a |Lösning 4.3:3a|Lösning b |Lösning 4.3:3b|Lösning c |Lösning 4.3:3c|Lösning d |Lösning 4.3:3d|Lösning e |Lösning 4.3:3e|Lösning f |Lösning 4.3:3f}}
 +
 +
===Övning 4.3:4===
 +
<div class="ovning">
 +
Antag att <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> och att <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Uttryck med hjälp av <math>\,b</math>
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\sin^2{v}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\sin{v}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>\sin{2v}</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>\cos{2v}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</math>
 +
|f)
 +
|width="50%" | <math>\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:4|Lösning a |Lösning 4.3:4a|Lösning b |Lösning 4.3:4b|Lösning c |Lösning 4.3:4c|Lösning d |Lösning 4.3:4d|Lösning e |Lösning 4.3:4e|Lösning f |Lösning 4.3:4f}}
 +
 +
===Övning 4.3:5===
 +
<div class="ovning">
 +
För en spetsig vinkel <math>\,v\,</math> i en triangel gäller att <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math>. Bestäm <math>\,\cos{v}\,</math> och <math>\,\tan{v}\,</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:5|Lösning |Lösning 4.3:5}}
 +
 +
===Övning 4.3:6===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | Bestäm <math>\ \sin{v}\ </math> och <math>\ \tan{v}\ </math> om <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> och <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | Bestäm <math>\ \cos{v}\ </math> och <math>\ \tan{v}\ </math> om <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> och <math>\,v\,</math> ligger i den andra kvadranten.
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="100%" | Bestäm <math>\ \sin{v}\ </math> och <math>\ \cos{v}\ </math> om <math>\ \tan{v}=3\ </math> och <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:6|Lösning a |Lösning 4.3:6a|Lösning b |Lösning 4.3:6b|Lösning c |Lösning 4.3:6c}}
 +
 +
===Övning 4.3:7===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestäm <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> om
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> och <math>\,x\,</math>, <math> \,y\,</math> är vinklar i första kvadranten.
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> och <math>\,x\,</math>, <math>\,y\,</math> är vinklar i första kvadranten.
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:7|Lösning a |Lösning 4.3:7a|Lösning b |Lösning 4.3:7b}}
 +
 +
===Övning 4.3:8===
 +
<div class="ovning">
 +
Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | <math>\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</math>
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | <math>\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="100%" | <math>\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</math>
 +
|-
 +
|d)
 +
|width="100%" | <math>\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a |Lösning 4.3:8a|Lösning b |Lösning 4.3:8b|Lösning c |Lösning 4.3:8c|Lösning d |Lösning 4.3:8d}}
 +
 +
===Övning 4.3:9===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|
 +
|width="100%" | Visa "Morries formel"
 +
|-
 +
|
 +
|width="100%" |<center> <math>\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}</math> </center>
 +
|-
 +
|
 +
|width="100%" |(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på <math>\,\sin 160^\circ\,</math>.)
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning |Lösning 4.3:9}}

Nuvarande version

       Teori          Övningar          Ja/Nej?      

Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar v mellan 2 och 2 som uppfyller

a) cosv=cos5 b) sinv=sin7 c) tanv=tan72

Svar | Lösning a | Lösning b | Lösning c

Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar v mellan 0 och som uppfyller

a) cosv=cos23 b) cosv=cos57

Svar | Lösning a | Lösning b

Övning 4.3:3

Antag att −2v2 och att sinv=a. Uttryck med hjälp av a

a) sin(−v) b) sin(−v)
c) cosv d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}

Svar | Lösning a | Lösning b | Lösning c | Lösning d | Lösning e | Lösning f

Övning 4.3:4

Antag att \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, och att \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,b

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}

Svar | Lösning a | Lösning b | Lösning c | Lösning d | Lösning e | Lösning f

Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel \displaystyle \,v\, i en triangel gäller att \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \displaystyle \,\cos{v}\, och \displaystyle \,\tan{v}\,.

Svar | Lösning

Övning 4.3:6

a) Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestäm \displaystyle \ \cos{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \displaystyle \,v\, ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \cos{v}\ om \displaystyle \ \tan{v}=3\ och \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.

Svar | Lösning a | Lösning b | Lösning c

Övning 4.3:7

Bestäm \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ om

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten.

Svar | Lösning a | Lösning b

Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v

Lösning a | Lösning b | Lösning c | Lösning d

Övning 4.3:9

Visa "Morries formel"
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \displaystyle \,\sin 160^\circ\,.)

Lösning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte1/index.php/4.3_%C3%96vningar