Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

2.3 Andragradsuttryck

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *Kvadratkomplettering *Andragradsekvationer *Faktorisering *Parabler }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Kvadra...)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
__NOTOC__
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Vald flik|[[2.3 Andragradsuttryck|Teori]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[2.3 Övningar|Övningar]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
{{Info|
{{Info|
'''Innehåll:'''
'''Innehåll:'''
Rad 233: Rad 240:
[[2.3 Övningar|Övningar]]
[[2.3 Övningar|Övningar]]
-
<div class="inforuta">
+
<div class="inforuta" style="width:580px;">
'''Råd för inläsning'''
'''Råd för inläsning'''

Versionen från 27 mars 2008 kl. 18.38

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Kvadratkomplettering
  • Andragradsekvationer
  • Faktorisering
  • Parabler

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Kvadratkomplettera andragradsuttryck.
  • Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret.
  • Faktorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
  • Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer.
  • Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttryck antar.
  • Skissera parabler genom kvadratkomplettering.

Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som

x2+px+q=0

där x är den obekanta och p och q är konstanter.


Enklare typer av andragradsekvationer kan vi lösa direkt genom rotutdragning.

Ekvationen x2=a där a är ett postivt tal har två lösningar (rötter) x=a  och x=−a .

Exempel 1

  1. x2=4 har rötterna x=4=2  och x=−4=−2 .
  2. 2x2=18 skrivs om till x2=9 och har rötterna x=9=3  och x=−9=−3 .
  3. 3x2−15=0 kan skrivas som x2=5 och har rötterna x=52236  och x=−5−2236 .
  4. 9x2+25=0 saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur x väljs (kvadraten x2 är alltid större än eller lika med noll).

Exempel 2

  1. Lös ekvationen  (x−1)2=16.

    Genom att betrakta x−1 som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
    • x−1=16=4  vilket ger att x=1+4=5,
    • x−1=−16=−4  vilket ger att x=1−4=−3.
  2. Lös ekvationen  2(x+1)2−8=0.

    Flytta över termen 8 till högerledet och dela båda led med 2,
    (x+1)2=4.

    Rotutdragning ger att:

    • x+1=4=2dvs.x=−1+2=1 
    • x+1=−4=−2dvs.x=−1−2=−3 

För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering.

Om vi betraktar kvadreringsregeln

x2+2ax+a2=(x+a)2

och subtraherar a2 från båda led så får vi

Kvadratkomplettering:

x2+2ax=(x+a)2−a2

Exempel 3

  1. Lös ekvationen  x2+2x−8=0.

    De två termerna x2+2x kvadratkompletteras (använd a=1 i formeln)
    x2+2x−8=(x+1)2−12−8=(x+1)2−9

    där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som

    (x+1)2−9=0

    vilken vi löser med rotutdragning

    • x+1=9=3  och därmed x=−1+3=2,
    • x+1=−9=−3  och därmed x=−1−3=−4.
  2. Lös ekvationen  2x2−2x−23=0.

    Dividera båda led med 2
    x2−x−43=0.

    Vänsterledet kvadratkompletteras (använd a=−21)

    x2−x−43=x−212−−212−43=x−212−1 

    och detta ger oss ekvationen

    x−212−1=0. 

    Rotutdragning ger att

    • x−21=1=1  dvs. x=21+1=23,
    • x−21=−1=−1  dvs. x=21−1=−21.

Tips:

Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om ekvationen blir uppfylld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För exempel 3a ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänster- och högerleden för VL respektive HL:

  • x=2 medför att VL=22+22−8=4+4−8=0=HL.
  • x=−4 medför att VL=(−4)2+2(−4)−8=16−8−8=0=HL.

I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppfylld i båda fallen.

Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen

x2+px+q=0

har lösningarna

x=−2p2p2−q 

förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.

Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.

Exempel 4

  1. Lös ekvationen  x2−4x=0.

    I vänsterledet kan vi bryta ut ett x
    x(x−4)=0.
    Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
    • x=0 eller
    • x−4=0 dvs. x=4.


Parabler

Funktionerna

yyy=x2−2x+5=4−3x2=51x2+3x

är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som

y=ax2+bx+c

där a, b och c är konstanter och där a=0.

Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel y=x2 och y=−x2.

[Image]

Figuren till vänster visar parabeln y=x2  och figuren till höger parabeln y=−x2 .


Eftersom uttrycket x2 är som minst när x=0 har parabeln y=x2 ett minimum när x=0 och parabeln y=−x2 ett maximum för x=0.

Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring y-axeln eftersom värdet på x2 inte beror på vilket tecken x har.

Exempel 5

  1. Skissera parabeln  y=x2−2.

    Jämfört med parabeln y=x2 har punkter på parabeln (y=x2−2) y-värden som är två enheter mindre, dvs. parabeln är förskjuten två enheter neråt i y-led.

[Image]

  1. Skissera parabeln  y=(x−2)2.

    På parabeln y=(x−2)2 behöver vi välja x-värden två enheter större jämfört med parabeln y=x2 för att få motsvarande y-värden. Alltså är parabeln y=(x−2)2 förskjuten två enheter åt höger jämfört med y=x2.

[Image]

  1. Skissera parabeln  y=2x2.

    Varje punkt på parabeln y=2x2 har dubbelt så stort y-värde än vad motsvarande punkt med samma x-värde har på parabeln y=x2. Parabeln y=2x2 är expanderad med faktorn 2 i y-led jämfört med y=x2.

[Image]

Med kvadratkomplettering kan vi behandla alla typer av parabler.

Exempel 6

Skissera parabeln  y=x2+2x+2.


Om högerledet kvadratkompletteras

x2+2x+2=(x+1)2−12+2=(x+1)2+1

så ser vi från det resulterande uttrycket y=(x+1)2+1 att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i x-led jämfört med y=x2 (eftersom det står (x+1)2 istället för x2) och en enhet uppåt i y-led.

[Image]

Exempel 7

Bestäm var parabeln y=x2−4x+3 skär x-axeln.


En punkt ligger på x-axeln om dess y-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har y=0 har en x-koordinat som uppfyller ekvationen

x2−4x+3=0.

Vänsterledet kvadratkompletteras

x2−4x+3=(x−2)2−22+3=(x−2)2−1

och detta ger ekvationen

(x−2)2=1.

Efter rotutdragning får vi lösningarna

  • x−2=1=1  dvs. x=2+1=3,
  • x−2=−1=−1  dvs. x=2−1=1.

Parabeln skär x-axeln i punkterna (10) och (30).

[Image]

Exempel 8

Bestäm det minsta värde som uttrycket x2+8x+19 antar.


Vi kvadratkompletterar

x2+8x+19=(x+4)2−42+19=(x+4)2+3

och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten (x+4)2 alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad x är.

I figuren nedan ser vi att hela parabeln y=x2+8x+19 ligger ovanför x-axeln och har ett minimumvärde 3 när x=−4.

[Image]


Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring

Läs mer om andragradsekvationer på engelska Wikipedia

Läs mer om andragradsekvationer i MathWorld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin


Länktips

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sommarmatte1/index.php/2.3_Andragradsuttryck