3.1 Rötter
Förberedande kurs i matematik 1
Teori | Övningar |
Innehåll:
- Kvadratrot och n:te rot
- Rotlagar
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Skriva om ett rotuttryck i potensform.
- Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
- Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierad.
- Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
- Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
- Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
- Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
- Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierad (n udda).
Kvadratrötter
Symbolen a
Ekvationen 2=4
(−2)=4
4
4=
2
4
Kvadratroten a
Kvadratroten ur 2
Det är därför fel att påstå att 4=
2
2
Exempel 1
eftersom0=0
02=0 och0=0
0 är inte negativ. eftersom100=10
102=10 och10=100
10 är ett positivt tal.-
eftersom0
25=0
5
0 och52=0
5
0
5=0
25
0 är positiv.5
eftersom2
1
4142
1 och4142
1
4142
2
1 är positiv.4142
- Ekvationen
x2=2 har lösningarnax= och2
1
414
x=− .2
−1
414
är inte definierad, eftersom det inte finns något reellt tal−4
x som uppfyllerx2=−4 . eftersom(−7)2=7
.(−7)2=
(−7)
(−7)=
49=
7
7=7
När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom a=a1
2
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,
som gäller för alla reella tal b
0:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)
Exempel 2
64
81=
64
81=8
9=72
925=
9
25=53
18
2=
18
2=
36=6
3
75=
375=
25=5
12=
4
3=
4
3=2
3
Observera att räknereglerna ovan förutsätter att 0
a
b
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att −1
Högre ordningars rötter
Kubikroten ur ett tal 3a
Exempel 3
eftersom38=2
2 .2
2=8
eftersom30
027=0
3
0 .3
0
3
0
3=0
027
eftersom3−8=−2
(−2) .(−2)
(−2)=−8
Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
Det går sedan att för positiva heltal
- om
n är jämn ocha är0
det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självtna
n gånger blira , - om
n är udda så är det tal som multiplicerat med sig självtna
n gånger blira .
Roten na
n
Exempel 4
eftersom4625=5
5 .5
5
5=625
eftersom5−243=−3
(−3) .(−3)
(−3)
(−3)
(−3)=−243
är inte definierad eftersom6−17
6 är jämn och−17 är ett negativt tal.
För b
0
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Förenkling av rotuttryck
Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
eftersom man då kan förenkla t.ex.
![]() ![]() ![]() |
Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Exempel 5
8
18=
2
9
2
4=
2
3
3
2
2
2=
2
32
2
22=3
22
2=32
6 72=2
3
8
9=2
3
2
2
2
3
3=2
3
22
32
2=2
32
3
2=
2
45+
20=
9
5+
4
5=
32
5+
22
5=3
5+2
5
=(3+2) 5=5
5
50+2
3−
32+
27=
5
10+2
3−
2
16+
3
9
= 5
2
5+2
3−
2
4
4+
3
3
3
= 52
2+2
3−
22
22
2+
3
32
=5 2+2
3−2
2
2+3
3
=(5−4) 2+(2+3)
3
= 2+5
3
3122
33=
33
42
33=2
33
33
34=2
34=2
32
2=2
32
32
32
32=22
32=
32
( 3+
2)(
3−
2)=(
3)2−(
2)2=3−2=1
- där vi använt konjugatregeln
(a+b)(a−b)=a2−b2 med \displaystyle a=\sqrt{3} och \displaystyle b=\sqrt{2}.
- där vi använt konjugatregeln
Rationella rotuttryck
När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med \displaystyle \sqrt{2} kan man exempelvis göra omskrivningen
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} |
vilket oftast är att föredra.
I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.
\displaystyle \begin{align*}
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt] &= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.} \end{align*} |
Exempel 6
- \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
- \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
- \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
- \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}
= \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)
(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}
= \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2
-(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3} \vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Tänk på att:
Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!
Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.
Exempelvis: \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}
Lästips
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia
Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?
Länktips