Tips och lösning till övning 17.11

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Använd projektionsformeln för projektion av en godtycklig vektor u på normalvektorn.

Tips 2


\displaystyle \begin{align} G(\boldsymbol{u})&=\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} \end{align}

där normalvektorn \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1)^t


Tips 3

Skriv resultatet av projektionsformeln i formen AX ( X är u:s koordinater) där matrisen A kan identifieras.

Lösning


Normalen är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1)^t. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t var en godtycklig vektor. Ortogonala projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{n} ges av

\displaystyle \begin{align}

G(\boldsymbol{u})&=\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\ 

                       &=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\end{pmatrix}
               =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}.
\end{align}


Alltså, matrisen är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.11