Tips och lösning till övning 17.13

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Rita figur enl exempel 16.17


Tips 2

Av figuren ser du att speglingen av vektorn u = u:s projektion i planet - 2 gånger u:s projektion på normalvektorn.


Tips 3


\displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u})&=\boldsymbol{u}-2\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} \end{align}

Lösning

Speglingen \displaystyle F av \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t i ett plan med normalen \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,1,1)^t ges av

\displaystyle \begin{align}

F(\boldsymbol{u})&=\boldsymbol{u}-2\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n} 

                           =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\\{x_1+x_2+x_3}\end{pmatrix}\\
                       &=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}{x_1-2x_2-2x_3}\\{x_1-2x_2-2x_3}\\{x_1-2x_2-2x_3}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&{-2}&{-2}\\{-2}&1&{-2}\\{-2}&{-2}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}.
\end{align}

Matrisen är därmed \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&{-2}&{-2}\\{-2}&1&{-2}\\{-2}&{-2}&1\end{pmatrix}.


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.13