Tips och lösning till övning 17.14

Tips 1

\displaystyle W är ett plan så vi har alltså samma situation som i 17.13. Skillnaden är att du måste räkna ut normalen. Gör det!

Tips 2

Eftersom vi är i ett Euklidiskt rum kan du använda skalärprodukt för att hitta den vektor som är ortogonal mot de båda givna vektorerna som spänner upp \displaystyle W. Du finner tex (varje vektor parallell med normalen är en normalvektor) att en normal till \displaystyle W är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,2,2)^t

Tips 3

Rita figur för att inse att:

\displaystyle S(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}-2\frac{(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{n})}{||\boldsymbol{n}||^2}\cdot\boldsymbol{n}.

Lösning

Underrummet \displaystyle W är ett plan som går igenom origo. En normal till \displaystyle W är \displaystyle \boldsymbol{n}=(1,2,2)^t. Spegligen i \displaystyle S i \displaystyle W ges av

Spegligen \displaystyle S har matrisen \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}7&{-4}&{-4}\\{-4}&1&{-8}\\{-4}&{-8}&1\end{pmatrix}.