Tips och lösning till övning 17.15

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Utnyttja att de vektorer som spänner upp är ortogonala.

Tips 2

Ortogonala projektionen av en godtycklig vektor u på \displaystyle W erhålles pga ortogonaliteten med hjälp av skalärprodukt mellan u och de normerade vektorerna. Koordinaterna för projektionen är alltså projektionen på respektive normerad vektor.

Tips 3

Återstår att skriva om projektionen på formen AX där A är den sökta matrisen och X en kolonnmatris med den godtyckliga vektorn u:s koordinater.

Lösning


Vektorerna som spänner upp \displaystyle W är ortogonala. Vi normerar dessa och får \displaystyle \boldsymbol{f}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2=(1/2,-1/2,1/2,-1/2)^t. Ortogonala projektionen \displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u})=u_{\parallel W} av \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t ges av

\displaystyle \begin{align}

P_{W}(\boldsymbol{u})&=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{f}_1)\boldsymbol{f}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{f}_2)\boldsymbol{f}_2\\ 

                          &= \frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)\bigg|

\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\right) \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right) + \frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)\bigg| \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\right) \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\\-1\end{array}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}x_1+x_3\\x_2+x_4\\x_1+x_3\\x_2+x_4\end{array}\right).\\

\end{align}

Sista uttrycket kan skrivas som en matrisprodukt så att

\displaystyle P_{W}(\boldsymbol{u})=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right).

Alltså har \displaystyle F matrisen \displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{array}\right).


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.15