Tips och lösning till övning 17.15

Tips 1

Utnyttja att de vektorer som spänner upp är ortogonala.

Tips 2

Ortogonala projektionen av en godtycklig vektor u på W erhålles pga ortogonaliteten med hjälp av skalärprodukt mellan u och de normerade vektorerna. Koordinaterna för projektionen är alltså projektionen på respektive normerad vektor.

Tips 3

Återstår att skriva om projektionen på formen AX där A är den sökta matrisen och X en kolonnmatris med den godtyckliga vektorn u:s koordinater.

Lösning

Vektorerna som spänner upp W är ortogonala. Vi normerar dessa och får 1=(12121212)t resp. 2=(12−1212−12)t. Ortogonala projektionen PW()=uW av =(x1x2x3x4)t ges av

PW()=(1)1+(2)2=21x1x2x3x41111211111+21x1x2x3x41−11−1211−11−1=21x1+x3x2+x4x1+x3x2+x4

Sista uttrycket kan skrivas som en matrisprodukt så att

PW()=211010010110100101x1x2x3x4

Alltså har F matrisen 211010010110100101.