Tips och lösning till övning 17.21

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Börja med att söka \displaystyle N(F) för att den vägen erhålla dim\displaystyle V(F)


Tips 2

Eftersom dim\displaystyle V(F)=2 spänns \displaystyle V(F) upp av två av \displaystyle A:s kolonner tex den första och andra (den tredje är en linjärkombination av de två första).

Sök nu även \displaystyle V(G). \displaystyle V(G) är de vektorer som projiceras på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t .Alltså de som är parallella med linjen.


Tips 3

Nollrummet \displaystyle N(G) är mängden av urbilder som avbildas på nollvektorn. Detta är just det plan som har \displaystyle (1,1,1)^t som normal.

Lösning


Nollrummet \displaystyle N(F) är mängden av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X som under \displaystyle F avbildas på nollvektorn, dvs

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \underline{\boldsymbol{e}}AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow AX=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow X=t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.

Alltså är \displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t och dimensionssatsen ger att dim\displaystyle V(F)=2, så att underummet \displaystyle V(F)=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)]=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2)]=[(2,1,1)^t,(1,0,1)^t]) är ett plan genom origo. En normal till detta plan är t.ex. \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)\times F(\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}(1,-1,-1)^t. Alltså är \displaystyle V(F)=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ x_1-x_2-x_3=0\}. Vidare, \displaystyle V(G) är mängden av alla bildvektorerna, så att \displaystyle V(G)=[(1,1,1)^t]. Nollrummet är mängden av urbilder som avbildas på nollvektorn. Detta är just det plan som har \displaystyle (1,1,1)^t som normal. Alltså \displaystyle N(G)=\{\boldsymbol{u}\in {\bf R}^3:\ x_1+x_2+x_3=0\}. Snittmängden \displaystyle V(F)\cap N(G) är skärningen mellan planen

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}x_1-x_2-x_3&=&0\\x_1+x_2+x_3&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\{-1}\end{pmatrix}.

Alltså, så är \displaystyle V(F)\cap N(G)=[\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3].

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.21