Tips och lösning till övning 17.26

Tips 1

Kolonnerna i \displaystyle F:s matris \displaystyle A består av \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3).

Tips 2

dim\displaystyle V(F)=2 betyder att de två första kolonnerna i avbildningsmatrisen är kända med hjälp av dim\displaystyle V(F).

Tips 3

För att finna den tredje kolonnen \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) som har det givna nollrummet löser vi ekvationssystemet \displaystyle AX=\boldsymbol{0} \displaystyle \Leftrightarrow \left(\begin{matrix}1&1&x_1\\ 0&1&x_2\\ 0&0&x_3\end{matrix}\ \right|\ \left.\begin{matrix}0\\ 0\\0\end{matrix}\right).

Lösning

Kolonnerna i \displaystyle F:s matris \displaystyle A består av \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3).

Eftersom dim\displaystyle V(F)=2, så är \displaystyle V(F)=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2),F(\boldsymbol{e}_3)]=[F(\boldsymbol{e}_1),F(\boldsymbol{e}_2)]=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t].

Vi behöver alltså bestämma \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)=\underline{\boldsymbol{e}}(x_1,x_2,x_3)^t, så att \displaystyle (1,1,1)^t\in N(F), dvs

                  \underline{\boldsymbol{e}}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
                  \Leftrightarrow

Systemet har lösningen \displaystyle (-2,-1,0)^t. Alltså är \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&{-2}\\0&1&{-1}\\0&0&0\end{pmatrix}.