Tips och lösning till övning 17.38
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Grundidéen i denna typ av problem är att genomföra ett basbyte så att
- det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i den nya basen
- det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen \displaystyle T genom att det räcker att transponera densamma)
Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} för i den ursprungliga basen genom sambandet \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t
c) Vad betyder \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4 geometriskt? Rita figur!
Tips 2
a och b) I den nya HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} låter du \displaystyle \boldsymbol{f}_1 vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1. \displaystyle \boldsymbol{f}_3 skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Du har nu basbytesmatrisen \displaystyle T.
c) Rotationen i a) skall alltså genomföras 4 gånger.
Tips 3
Avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}respektive \displaystyle B_{\boldsymbol{f}} erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs
a)
- \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_3
- \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_2
Rita figur!
b)
- \displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_1
- \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_2
Ett alternativ är att genomföra rotationen i a) tre gånger, vilket ger \displaystyle B_{\boldsymbol{e}}=A_{\boldsymbol{e}}^3. Detta kan användas för kontroll.
c) Vi roterar alltså ett helt varv, vilket innebär att bild och urbild är samma vektor.
Rita figur!
Lösning
a) Byt till en ny höger ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, där \displaystyle \boldsymbol{f}_1 är en enhetsvektor parallell med
rotationsaxeln \displaystyle L, dvs
\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\2\\{-1}\end{pmatrix}. Vidare väljer vi t.ex., \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\{-1}\\2\end{pmatrix}
och till sist \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\{-2}\\{-2}.\end{pmatrix}
Bassambandet är
Avbildningsmatrisen i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} ges av \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&{-1}\\0&1&0\end{pmatrix} och i den gamla basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av
A_{\boldsymbol{e}}&=TA_{\boldsymbol{f}}T^t=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&1\\2&{-1}&{-2}\\{-1}&2&{-2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&{-1}\\0&1&0\end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&{-1}\\2&{-1}&2\\1&{-2}&{-2}\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&7&4\\1&4&{-8}\\{-8}&4&1\end{pmatrix}
\end{align}
b) Eftersom rotationen är kring samma linje som i a), så inför vi samma nya ON-bas. Dock är vinkeln här \displaystyle \theta=3\pi/2 och
avbildningsmatrisen är därmed \displaystyle B_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&{-1}&0\end{pmatrix}. Vi observerar att eftersom rotationen är 3 gånger vinkeln i a), så
är \displaystyle G=F^3 och därmed \displaystyle B_{\boldsymbol{f}}=A_{\boldsymbol{f}}^3.
Matrisen i den gamla basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av
c) Vi tolkar \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4 som matrisen för en rotation 4 gånger vinkeln i a), dvs vinkeln \displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi. Därmed har vi roterat tillbaka till ursprungsläger, så att \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4=E.
