Tips och lösning till övning 17.5

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Exempel 16.13 ger god vägledning. I denna övning vet vi redan att avbildningen är linjär så det utnyttjar vi.

Tips 2

För att ta fram matrisen så tar vi fram bilderna av basvektorerna. Dessa är kolonner i den sökta avbildningsmatrisen. Jämfört med exempel 16.13 så får du i detta fall "bara" ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta (bilderna av basvektorerna).

Tips 3

I ekvationssystemet söker du bilden av basvektorerna, dvs \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1) och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2).

Lösning

Avbildningsmatrisen \displaystyle A till \displaystyle F innehåller i sina kolonner bilden av basvektorerna \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1) och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2). Dessa kan lösas ur ekvationssystemet

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)&=&5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2\\ F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)&=&7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.

Eftersom \displaystyle F är linjär kan vänstra leden i systemet ovan skrivas

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)&=&3F(\boldsymbol{e}_1)+4F(\boldsymbol{e}_2)\\ F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)&=&2F(\boldsymbol{e}_1)+3F(\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Det nya ekvationssytemet kan alltså skrivas

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}3F(\boldsymbol{e}_1)+4F(\boldsymbol{e}_2)&=&5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2\\ 2F(\boldsymbol{e}_1)+3F(\boldsymbol{e}_2)&=&7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.

Radoperationer ger

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}3F(\boldsymbol{e}_1)+4F(\boldsymbol{e}_2)&=&5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&11\boldsymbol{e}_1+12\boldsymbol{e}_2\end{array}\right.

samt \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1)=-13\boldsymbol{e}_1-14\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2)=11\boldsymbol{e}_1+12\boldsymbol{e}_2.

Avbildningsmatrisen ges därmed av \displaystyle A=\begin{pmatrix}{-13}&{11}\\{-14}&{12}\end{pmatrix}.



Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.5