Tips och lösning till övning 17.7

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Se Sats 16.11. Hur kan du nu utnyttja denna kunskap?


Tips 2

Du skall alltså finna bilderna av basvektorerna. Bilderna du söker skriver vi som \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2) respektive \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)


Tips 3

Sätt upp ett lämpligt ekvationssystem, utnyttja att \displaystyle F är linjär och lös sedan ut \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3)


Lösning

För att lösa ut de obekanta \displaystyle F(\boldsymbol{e}_1), \displaystyle F(\boldsymbol{e}_2), och \displaystyle F(\boldsymbol{e}_3) ur ekvationssytemet utnyttjar vi att \displaystyle F är linjär. Vänstra ledet i systemet kan då skrivas

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcl}F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)&=&F(\boldsymbol{e}_1)+F(\boldsymbol{e}_2)\\F(\boldsymbol{e}_2)&=&F(\boldsymbol{e}_2)\\F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)&=&F(\boldsymbol{e}_2)+F(\boldsymbol{e}_3)\end{array}\right.

Ekvationssytemet kan nu skrivas

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}F(\boldsymbol{e}_1)&+&F(\boldsymbol{e}_2)&&&=&2\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ 
                                                   & &F(\boldsymbol{e}_2) &&&=&-\boldsymbol{e}_1&+&2\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
&&F(\boldsymbol{e}_2)&+&F(\boldsymbol{e}_3)&=&2\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&5\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Utför vi radopertioner, rad 2 minus rad 1 rsp. rad 2 minus rad 3 får vi att

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}F(\boldsymbol{e}_1)&&&&&=&3\boldsymbol{e}_1&-&\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\ 
                                                   & &F(\boldsymbol{e}_2)&&&=&-\boldsymbol{e}_1&+&2\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
&&&&F(\boldsymbol{e}_3)&=&3\boldsymbol{e}_1&-&\boldsymbol{e}_2&+&4\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Avbildningsmatrisen är därmed

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&{-1}&3\\{-1}&2&{-1}\\{-1}&1&4\end{pmatrix}.


Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_17.7