Tips och lösning till övning 3.10a

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Låt tex \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}. Beskriv \displaystyle \boldsymbol{u} som en linjärkombination (se definition 2.1) av \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3

Tips 2

Linjärkombinationen blir \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u} \Leftrightarrow \lambda_1 \begin{pmatrix}4\\1\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{-9}\\{-7}\\{-3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},

Tips 3

Multiplicera in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriv systemet på matrisform. Undersök sedan om systemet har någon lösning.

Lösning



\displaystyle V är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} sådana att

\displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u}

\Leftrightarrow \lambda_1 \begin{pmatrix}4\\1\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{-9}\\{-7}\\{-3}\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},
dvs
\displaystyle

\left(\begin{array}{rr} 4&-9\\ 1&-7\\ -5&-3 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 0&19\\ 1&-7\\ 0&0 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1-4x_2\\x_2\\ 2x_1-3x_2+x_3\end{array}\right).

Även här måste vi kräva att

\displaystyle 2x_1-3x_2+x_3=0.

Detta betyder att

\displaystyle V=\left\{\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}:\ 2x_1-3x_2+x_3=0\right\}

är ett plan genom origo.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.10a