Tips och lösning till övning 3.12a

Tips 1

Använd definition på linjärt beroende ( se definition 2.15)

Tips 2

Definitionen leder till ekvationssystemet \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow\left(\begin{array}{rr}1&3\\1&1\\1&2\end{array}\right|\left.\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right).

Tips 3

Ekvationssystemet har endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=0. Obs! Du kan direkt se att dessa två vektorer ej är parallella, vilket leder till slutsatsen att de är linjärt oberoende.

Lösning

Kalla vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 ej båda noll så att

                   \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow

Systemet har endast lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=0. Alltså är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 linjärt oberoende.