Tips och lösning till övning 3.12b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Se a-uppgiften
Tips 2
Se a-uppgiften
Tips 3
I detta fall får vi en parameterlösning, vilket leder till slutsatsen att en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de två övriga.
Lösning
Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 ej alla noll så att
\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&3&0\\1&1&2\\1&2&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&3&0\\0&0&0\\0&-1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right).
Sätter vi \displaystyle \lambda_3=t, så får vi att \displaystyle \lambda_2=t
och \displaystyle \lambda_1=-3t. Säter vi in dessa i
beroenderelationen så får vi
Här ser vi att vi kan uttrycka en vektor i dem två andra. Alltså är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1, \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3linjärt beroende.
