Tips och lösning till övning 3.13
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Tre vektorer ligger i samma plan om de är linjärt beroende. En enkel figur är bra för att få stöd för dina tankar.
Tips 2
Använd ekvationen \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u} +\lambda_2 \boldsymbol{v}+\lambda_3 \boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\lambda_2 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} +\lambda_3 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} för att undersöka det linjära beroendet.
Tips 3
Du får en parameterlösning som visar att vektorerna är linjärt beroende. Beräkna gärna relationen mellan de tre vektorerna. Kontrollera sedan att resultatet genom att sätta in värdena på de 3 vektorerna i den framräknade relationen.
Lösning
Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w} ligger i samma plan om mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} är linjärt beroende. Vi undersöker därför linjärt beroende och får att
\lambda_1 \boldsymbol{u} +\lambda_2 \boldsymbol{v}+\lambda_3 \boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\lambda_2 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} +\lambda_3 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
har lösningen \displaystyle \lambda_1=-3t , \displaystyle \lambda_2=2t , \displaystyle \lambda_3=t . Detta betyder att mängden
\displaystyle \{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} är linjärt beroende och därmed
ligger alla tre vektorerna i samma plan.
Dessutom gäller relationen
