Tips och lösning till övning 3.15

Tips 1

Det krävs två saker för att en uppsättning vektorer skall vara en bas; Rätt ental vektorer ( i detta fall två stycken) samt att de är linjärt oberoende.

Tips 2

Vektorerna är linjärt oberoende om \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{f}_1+\lambda_2 \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{0} endast har den triviala lösningen.

Tips 3

För att ange koordinaterna i den nya basen behöver du bestämma \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 i ekvationssystemet \displaystyle \boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2. Koordinaterna för de olika vektorerna finner du i uppgiftens formulering.

Lösning

1. Vi börjar med att visa att mängden \displaystyle \{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\} är en bas för planet. Eftersom antalet givna vektorer är rätt, dvs 2 i planet, så räcker det med att visa att dessa är linjärt oberoende. Eftersom systemet

         \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
       \Leftrightarrow

      \Leftrightarrow

endast har den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=0 , så är \displaystyle \{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\} en bas för planet. Vi sätter då \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.

2. Vi bestämmer nu koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}. Vi behöver bestämma steglängder \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 vi behöver gå längs basvektorerna \displaystyle \boldsymbol{f}_1 resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2 (eller deras motsatta riktning) för att nå \displaystyle \boldsymbol{u}, dvs vi söker en lösning på systemet

            \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} 
            \Leftrightarrow

Denna lösning är \displaystyle \lambda_1=-1 och \displaystyle \lambda_2=1 . Dessa är \displaystyle \boldsymbol{u}:s koordinater i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, dvs