Tips och lösning till övning 3.15

Tips 1

Det krävs två saker för att en uppsättning vektorer skall vara en bas; Rätt ental vektorer ( i detta fall två stycken) samt att de är linjärt oberoende.

Tips 2

Vektorerna är linjärt oberoende om 11+22=0 endast har den triviala lösningen.

Tips 3

För att ange koordinaterna i den nya basen behöver du bestämma 1 och 2 i ekvationssystemet =11+22. Koordinaterna för de olika vektorerna finner du i uppgiftens formulering.

Lösning

1. Vi börjar med att visa att mängden 12 är en bas för planet. Eftersom antalet givna vektorer är rätt, dvs 2 i planet, så räcker det med att visa att dessa är linjärt oberoende. Eftersom systemet

11+22=01−12+234=0−123400−1001000 

endast har den triviala lösningen 1=2=0, så är 12 en bas för planet. Vi sätter då =12.

2. Vi bestämmer nu koordinaterna för i den nya basen . Vi behöver bestämma steglängder 1 och 2 vi behöver gå längs basvektorerna 1 resp. 2 (eller deras motsatta riktning) för att nå , dvs vi söker en lösning på systemet

=11+221−12+234=42−123442 

Denna lösning är 1=−1 och 2=1. Dessa är :s koordinater i basen , dvs

=−11+12=−11