Tips och lösning till övning 3.16
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi följer samma mönster som i uppgiften 3.15.
Tips 2
Vi följer samma mönster som i uppgiften 3.15.
Tips 3
Vi följer samma mönster som i uppgiften 3.15.
Lösning
Vi har tre vektorer i rummet och då räcker med att visa att dessa är linjärt oberoende för att de ska bilda en bas. Vi undersöker linjärt beroende och vi har tre vektorer i rummet och då räcker med att visa att dessa är linjärt oberoende för att de ska bilda en bas. Vi undersöker linjärt beroende och får
\lambda_1\boldsymbol{f}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{f}_2+\lambda_3\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} +\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\
-1 \end{pmatrix} +\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}
\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} =\boldsymbol{0}
Löser vi systemet så får vi att det endast har den triviala lösningen
\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. Alltså är mängden
\displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} linjärt
oberoende och därmed bas för rummet.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}
koordinaterna \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3
om
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2+\lambda_3\boldsymbol{f}_3\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 1& 1 & 1\\ 0& -1&-1\end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 2\\ 3\\-2\end{array}\right)
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}
koordinaterna \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3
om
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2+\lambda_3\boldsymbol{f}_3\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 1& 1 & 1\\ 0& -1&-1\end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 2\\ 3\\-2\end{array}\right)
Löser vi systemet får vi att \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1.
Alltså har vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}= \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ -2 \end{pmatrix} koordinaterna \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} .
