Tips och lösning till övning 3.17

Tips 1

Det krävs två saker för att en uppsättning vektorer skall vara en bas; Rätt ental vektorer ( i detta fall tre stycken) samt att de är linjärt oberoende.

Tips 2

En vektor har samma koordinaterna x1, x2 och x3 i de båda baserna och om x11+x22+x33==x11+x22+x33

Tips 3

Ekvationssystemet leder till en parameterlösning.

Lösning

Vi undersöker linjärt beroende och får

11+22+33=0011−1211020001=2=3=0

Alltså är =123 en bas för rummet.

En vektor har samma koordinater x1, x2 och x3 i båda baserna och om

x11+x22+x33==x11+x22+x33

Sätter vi det givna samabndet i uppgiften mellan baserna får vi

x11+x22+x33==x1(2+3)+x2(−1+22+3)+x3(1+23)

Flyttar vi högra ledet till vänstra ledet så får vi ett ekvationssystem i dem obekanta:

(x1+x2−x3)1+(−x1−x2)2+(−x1−x2−x3)3=0

x1−x1−x1+−−x2x2x2−−x3x3===000

Systemet har lösningen x1=t, x2=−t och x3=0. Alltså har alla vektorer av typen t1−10 samma koordinater i båda baserna, dvs t1−10==t1−10.