Tips och lösning till övning 3.17
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Det krävs två saker för att en uppsättning vektorer skall vara en bas; Rätt ental vektorer ( i detta fall tre stycken) samt att de är linjärt oberoende.
Tips 2
En vektor \displaystyle \boldsymbol{u} har samma koordinaterna \displaystyle x_1, \displaystyle x_2 och \displaystyle x_3 i de båda baserna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om \displaystyle x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{f}_1+x_2\boldsymbol{f}_2+x_3\boldsymbol{f}_3.
Tips 3
Ekvationssystemet leder till en parameterlösning.
Lösning
Vi undersöker linjärt beroende och får
\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2+\lambda_3\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 0&-1&1\\ 1& 2 & 0\\1& 1&2\end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 0\\ 0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
Alltså är \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} en bas för rummet.
En vektor \displaystyle \boldsymbol{u} har samma koordinater \displaystyle x_1, \displaystyle x_2 och \displaystyle x_3 i båda baserna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om
x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{f}_1+x_2\boldsymbol{f}_2+x_3\boldsymbol{f}_3.
Sätter vi det givna samabndet i uppgiften mellan baserna får vi
x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{u}=x_1(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)+x_2(-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3) +x_3(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3).
Flyttar vi högra ledet till vänstra ledet så får vi ett ekvationssystem i dem obekanta:
(x_1+x_2-x_3)\boldsymbol{e}_1+(-x_1-x_2)\boldsymbol{e}_2+(-x_1-x_2-x_3)\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{0}
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x_1&+&x_2&-&x_3&=&0\\-x_1&-&x_2&&&=&0\\-x_1&-&x_2&-&x_3&=&0\end{array}\right.
Systemet har lösningen \displaystyle x_1=t, \displaystyle x_2=-t och \displaystyle x_3=0.
Alltså har alla vektorer av typen \displaystyle t \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} samma
koordinater i båda baserna, dvs \displaystyle t \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} =\boldsymbol{u}=t \underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} .
