Tips och lösning till övning 3.18a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Tänk efter vad som krävs för att de tre vektorerna skall bilda en bas.
Tips 2
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{f}_3 skall alltså ej vara en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2.Vi formulerar därför ett villkor som \displaystyle \boldsymbol{f}_3 ej skall uppfylla.
Tips 3
\displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 om \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{f}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_3\Leftrightarrow\lambda_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}1\\1\\{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}.
Lös nu detta ekvationssystem!
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{f}_3 ska alltså inte vara en
linjärkombination i \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2, dvs
\displaystyle \boldsymbol{f}_3 ska inte ligga
i planet \displaystyle U som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2.
En vektor \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \in U om
\Leftrightarrow
\lambda_1 \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda_2
\begin{pmatrix}1\\1\\{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},dvs
\left(\begin{array}{rr} 1&1\\ 1&1\\ 0&-1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr} 1&1\\ 0&0\\ 0&-1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2-x_1\\ x_3\end{array}\right).
Alltså måste vi välja
så att \displaystyle \boldsymbol{f}_1 , \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 blir linjärt oberoende och därmed en bas för rummet.
