Tips och lösning till övning 3.6

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Rita en figur med \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},.

Tips 2

Börja med att beräkna \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} med hjälp av projektionsformeln.

Tips 3

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} kan nu beräknas med hjälp av sambandet \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}= \displaystyle \boldsymbol{u} - \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}.

Lösning

En vektor \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas i en summa enligt

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} =\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v} är \displaystyle \boldsymbol{u}:s ortogonala projektion på \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} .

Nu är

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}

=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v}

=\frac{13}{9}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}

och

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}

=\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix}-\frac{13}{9}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} =\frac{1}{9}\left\{ \begin{pmatrix}9\cdot7\\9\cdot(-2)\\9\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}13\cdot2\\13\cdot2\\13\cdot1\end{pmatrix}\right\}

=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}37\\-44\\14\end{pmatrix}.
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.6