Tips och lösning till övning 3.8a

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Beskriv \displaystyle \boldsymbol{u}_1 som en linjärkombination (se definition 2.1) av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2

Tips 2

Linjärkombinationen blir
\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}.

Tips 3

Multiplicera in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriv systemet på matrisform. Undersök sedan om systemet har någon lösning.

Lösning

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_1 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att


\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}.


Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:


\displaystyle \begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\1\\{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow 
       \left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&1\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&-5\end{array}\right.

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 2&1\\ 1&1\\ -1&1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{r} 4\\ 1\\ -5\end{array}\right).


Systemet har lösningen \displaystyle \lambda_1=3 och \displaystyle \lambda_2=-2. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_1=3\boldsymbol{v}_1 -2\boldsymbol{v}_2 en linjärkombination av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_1 är inom räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför i samma plan som spänns upp av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.8a