Tips och lösning till övning 3.8c

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Se a-uppgiften.

Tips 2

Se a-uppgiften.

Tips 3

Se a-uppgiften.

Lösning

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_3 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att


\displaystyle

\boldsymbol{u}_3=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}.


Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:


\displaystyle \begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow 
       \left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
       \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} -9\\ -7\\ -3\end{array}\right).


Systemet har lösningen \displaystyle \lambda_1=-2 och \displaystyle \lambda_2=-5 Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_1=-2\boldsymbol{v}_1 -5\boldsymbol{v}_2 en linjärkombination av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_3 är inom räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför i samma plan som spänns upp av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.8c