Tips och lösning till U 11.10
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
För att visa att underummen är lika delar man upp problemet i två fall. I fall ett antar man att om vektorn ligger U så ligger den också i V dvs \displaystyle U\subset V . Sedan gör man tvärt om.
Tips 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi visar \displaystyle U=V genom att visa att \displaystyle U ligger i \displaystyle V , dvs \displaystyle U\subset V , samt att \displaystyle V ligger i \displaystyle U , dvs \displaystyle V\subset U .
Fall 1: \displaystyle U\subset V : Eftersom
\boldsymbol{u}_1=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2=-\frac{2}{7}\boldsymbol{v}_1-\frac{5}{7}\boldsymbol{v}_2
och
\boldsymbol{u}_2=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2=-\frac{3}{7}\boldsymbol{v}_1-\frac{4}{7}\boldsymbol{v}_2,
så kommer varje \displaystyle \boldsymbol{u}=s\boldsymbol{u}_1+t\boldsymbol{u}_2\in U att också tillhöra \displaystyle V , ty
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{u}&=&s\boldsymbol{u}_1+t\boldsymbol{u}_2=-\frac{2}{7}s\boldsymbol{v}_1-\frac{5}{7}s\boldsymbol{v}_2-\frac{3}{7}t\boldsymbol{v}_1-\frac{4}{7}t\boldsymbol{v}_2\\ &=&(-\frac{2}{7}s-\frac{3}{7}t)\boldsymbol{v}_1+(-\frac{5}{7}s-\frac{4}{7}t)\boldsymbol{v}_2 \end{array}
är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 . Därmed har vi visat att hela \displaystyle U ligger i \displaystyle V .
Fall 2: \displaystyle V\subset U : Detta visas på samma sätt som 1. ovan.
Eftersom nu \displaystyle U och \displaystyle V ligger i varandra, sä följer att \displaystyle U=V .
