Tips och lösning till U 11.11

Tips 1

Vi börjar att sätta oss in i definition 10.51.

Tips 2

Det är alltså två villkor som skall vara uppfyllda. Det enklaste är att vi konstaterar att vi har 4 vektorer i ett rum som har dimensionen fyra. Alltså rätt antal. Sedan gäller det att visa att de är linjärt oberoende. Vilkoret är att \displaystyle

\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0} \quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right)

endast har den triviala lösningen.

Tips 3

Vi avslutar sedan med att ta fram koordinaterna genom att skriva vektorn som en linjärkombination av de fyra basvektorerna.

Lösning

Eftersom \displaystyle \dim{\bf R}^4=4 räcker det med 4 linjärt oberoende vektorer som bas. Vi börjar med att undersöka om de givna vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 , \displaystyle \boldsymbol{v}_3 och \displaystyle \boldsymbol{v}_4 är linjärt oberoende genom att lösa

\displaystyle

\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0} \quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}\right.

Alltså är \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\} en bas i \displaystyle {\bf R}^4 .

Vi bestämmer koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}(1,1,1,1)^t i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} genom att lösa

\displaystyle \boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4

\quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 1\\1\\1\\1\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&1\\\lambda_2&=&-1\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}.\right.

Detta visar att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}(1,-1,0,0)^t , dvs \displaystyle \boldsymbol{u} har koordinaterna \displaystyle (1,-1,0,0)^t .