Tips och lösning till U 11.12a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Att ta fram en bas är detsamma som att lösa ekvationssystemet och att uttrycka parameterlösningen på ett lämpligt sätt.
Tips 2
Vi får en tvåparametrisk lösning, vilket innebär att lösningsrummet har dimensionen två. Det gäller nu att ta fram två vektorer till för att finna en bas till \displaystyle {\bf R}^4 som ju har dimensionen fyra.
Tips 3
Metodiken är att du "gissar" en lämplig vektor. En lämplig gissning är att ta en vektor med en koordinat=1 och de övriga noll. Sedan visar du att den är linjärt oberoende med de övriga två. Den tredje "gissar" du på samma sätt fast din etta får då inte vara på samma plats som vid den förra gissningen.
Lösning
Lösningsrummet \displaystyle W till ekvationssystemet ges av
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
x_1&+&x_2&-&x_3& & &=&0\end{array}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&+&x_2&+&x_3 &+&x_4&=&0\\
& &
&-&2x_3&-&x_4&=&0\end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_3=t får vi att \displaystyle x_4=-2t . Sätter vi dessutom \displaystyle x_2=-s får vi att \displaystyle x_1=s+t . Alltså består lösningsrummet \displaystyle W av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t sådana att
\boldsymbol{w}=\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=
s\left(\begin{array}{r}1\\-1\\0\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\-2\end{array}\right)
\quad\Leftrightarrow\quad
\boldsymbol{w}=s\underbrace{(1,-1,0,0)^t}_{\boldsymbol{w}_1}+t\underbrace{(1,0,1,-2)^t}_{\boldsymbol{w}_2},
dvs \displaystyle W=[\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2] . Vi kan testa utvidga med \displaystyle \boldsymbol{w}_3=(0,0,1,0)^t . Enligt definitionen för linjärt beroende så gäller att
\lambda_1\boldsymbol{w}_1+\lambda_2\boldsymbol{w}_2+\lambda_3\boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\-1&0&0\\0&1&1\\0&-2&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\end{array}\right.
Vi fortsätter utvidga med \displaystyle \boldsymbol{w}_4=(0,0,0,1)^t och undersöker linjärt beroende:
\lambda_1\boldsymbol{w}_1+\lambda_2\boldsymbol{w}_2+\lambda_3\boldsymbol{w}_3+\lambda_4\boldsymbol{w}_4=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}\right.
Alltså är \displaystyle \underline{\boldsymbol{w}}=\{\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3,\boldsymbol{w}_4\} en bas för \displaystyle {\bf R}^4 .
