Tips och lösning till U 11.12a

Tips 1

Att ta fram en bas är detsamma som att lösa ekvationssystemet och att uttrycka parameterlösningen på ett lämpligt sätt.

Tips 2

Vi får en tvåparametrisk lösning, vilket innebär att lösningsrummet har dimensionen två. Det gäller nu att ta fram två vektorer till för att finna en bas till R4 som ju har dimensionen fyra.

Tips 3

Metodiken är att du "gissar" en lämplig vektor. En lämplig gissning är att ta en vektor med en koordinat=1 och de övriga noll. Sedan visar du att den är linjärt oberoende med de övriga två. Den tredje "gissar" du på samma sätt fast din etta får då inte vara på samma plats som vid den förra gissningen.

Lösning

Lösningsrummet W till ekvationssystemet ges av

x1x1++x2x2+−x3x3+x4==00x1+x2+−x32x3+−x4x4==00 

Sätter vi x3=t får vi att x4=−2t. Sätter vi dessutom x2=−s får vi att x1=s+t. Alltså består lösningsrummet W av alla vektorer =(x1x2x3x4)t sådana att

=x1x2x3x4=s1−100+t101−2=s(1−100)t1+t(101−2)t2

dvs W=[12]. Vi kan testa utvidga med 3=(0010)t. Enligt definitionen för linjärt beroende så gäller att

11+22+33=01−100101−200100000123===000

Vi fortsätter utvidga med 4=(0001)t och undersöker linjärt beroende:

11+22+33+44=01−100101−20010000100001234====0000

Alltså är =1234 en bas för R4.